روش آنالیز هموتوپی برای حل تقریبی-تحلیلی معادلات دیفرانسیل و کاربردهای آن
Abstract
چون معادلات دیفرانسیل مخصوصاًبا مشتقات جزئی مانند گرما، موج و... در علوم مهندسی ،فیزیک، شیمی و مکانیک سیالات به کار می روند و از آنجایی که حل معادلات غیر خطی(به ویژه حل تحلیلی)مشکل است و به علت وقت گیر بودن سایر روشهای عددی در حل این گونه معادلات، روشی تحلیلی برای همگرایی سریعتر به جواب دقیق، به نام آنالیز هموتوپی معرفی شد. در سال 1992 پروفسور شی جان لیائو در رساله دکتری خود روشی تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل ارائه داد که به روش آنالیز هموتوپی معروف شد. در این رساله روش جدید آنالیز هموتوپی(ham) برای حل معادلات دیفرانسیل معرفی می شود. ham مبتنی برهموتوپی که یک مفهوم بنیادی در توپولوژی است، می باشد. این روش یک تقریب تحلیلی کلی برای رسیدن به سری جواب انواع مختلف معادلات خطی و غیرخطی مانند معادلات جبری،دیفرانسیل معمولی، با مشتقات جزئی، دیفرانسیل جبری ودستگاههای آنها می باشد. بر خلاف روش های آشفتگی، ham به پارامتر های کوچک یا بزرگ فیزیکی وابسته نیست و بنابر این برای هرمسئله فیزیکی خواه شامل پارامتر کوچک یا بزرگ باشد یا نباشد، معتبر است. این روش با آزادی عملی که در انتخاب عملگر خطی، تابع کمکی، پارامتر کمکی و تقریب اولیه جواب دارد، برای ما راهی مناسب برای کنترل همگرایی سری جواب مهیا می سازد. این رساله شامل 5 فصل می باشد. در فصل اول به معرفی روش آنالیز هموتوپی و روش اصلاح شده آن می پردازیم. در فصل دوم قضیه همگرایی و قوانین اساسی و در فصل سوم و چهارم به روش آدمین و آشفتگی هموتوپی و ارتباط آنها با این روش می پردازیم و در فصل پنجم کاربردهای این روش را خواهیم داشت.