حلقه های با گراف مقسوم علیه صفر از گونای یک
Abstract
ویژگی های گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه جابجایی و گونای آن را مورد بررسی قرار می دهیم. بویژه، تمام حلقه های جابجایی متناهی و یکدار که گراف مقسوم علیه صفر آنها دارای گونای یک است را مشخص کرده و رده بندی می نماییم. همچنین نشان می دهیم که برای یک عدد صحیح مثبت ثابت g، تعداد متناهی کلاس هم ارزی از حلقه هایی که گراف مقسوم علیه صفر آنها دارای گونای g است، وجود دارد. برای این منظور مقالات زیر را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم: )1) c. wickham, classification of rings with genus one zero-divisor graphs. comm. algebra 36 (2) (2008) 1-21. )2) c. wickham, rings whose zero-divisor graphs have positive genus, journal of algebra 321 (2009) 377-383. از مطالعه مقالات فوق نتایج زیر حاصل می شود: اگر r?r_1×…×r_n که n?5 و r_iها حلقه های موضعی جابجایی باشند، آنگاه?(?(r) )?2؛ یعنی r،چنبره ای نیست. تنها حلقه چنبره ای با چهار عامل موضعی عبارت است از: r?f_2×f_2×f_2×f_2. 8 حلقه چنبره ای با سه عامل موضعی وجود دارد (توجه داریم که ?a_(p^2 )=f?_p [x]?((x^2 ) )) که عبارتنداز: f_7×f_2×f_(2 ) , f_5×f_2×f_2 , f_4×f_3×f_(2 ),? z?_4×f_2×f_2 .a_4×f_2×f_2 ,? f?_4×f_2×f_2 ,? f?_3×f_3×f_3 ,? f?_3×f_3×f_2 20 حلقه چنبره ای با دو عامل موضعی وجود دارد که عبارتنداز: f_7×z_4 , f_7×a_4 , f_7×f_4 , f_5×f_5 f_5×a_4 , f_5×z_4 , f_5×f_4 , z_4×z_4 a_4×z_4 , a_4×a_4 , f_4×z_4 , f_4×a_4 f_4×f_4 , z_8×f_3 , f_2 [x]?((x^3 ) )×f_3 z_4 [x]?((2x,x^2-2) )×f_3 , z_4 [x]?((x^2-x-1) )×f_2 .f_4 [x]?((x^2 ) )×f_(2 ),z_4 [x]?((2x,x^2 ) )×f_(2 ) ,f_2 [x,y]?(x,y)^2 ×f_2 17 حلقه موضعی چنبره ای وجود دارد که عبارتنداز: f_8 [x]?((x^2 ) ),z_4 [x]?((x^3+x+1) ),z_49 ,f_7 [x]?((x^2 ) ),f_2 [x]?((x^5 ) ) z_4 [x]?((2x,x^4-2) ) ,z_4 [x]?((2x^2,x^3-2) ) ,z_8 [x]?((4x,x^2-2) ) z_8 [x]?((4x,x^2-2x-2) ) ,? z?_8 [x]?((4x,x^2-2x+2) ) , z_32 f_2 [x,y]?((x^3,xy,y^2 ) ) ,? f?_2 [x,y,z]?(x,y,z)^2 , z_4 [x]?((2x,x^3 ) ) .z_4 [x,y]?((x^2-2,xy,y^2,2x,2y) ),z_4 [x,y]?(2,x,y)^2 ,z_8 [x]?((2x,x^2 ) ) برای هر عدد صحیح مثبت g، تعداد متناهی حلقه جابجایی متناهی از گونای g وجود دارد.