آنتروپی یک افراز شمارا، تبدیل حافظ m و مولدهای آن
Abstract
در این پایان نامه ابتدا یک مجموع? مرتب جزئی را به جای ?- جبر موجود در آنتروپی نظری? اندازه قرار دادیم. به جای عملگرهای اجتماع و اشتراک بر ?- جبر، عملگرهای جمع و ضرب را قرار دادیم. همچنین عملگرf-انداز? m را جایگزین انداز? احتمال کردیم. سپس با استفاده از این پیش فرض ها، مفهوم افراز شمارا را بیان نمودیم، و بر مجموع? تمام افرازهای شمارا ترتیب تظریف و عملگر الحاق را تعریف کردیم. قضایایی نیز دربار? خواص افرازهای شمارا بیان شده است. سپس آنتروپی افراز شمارا را به صورت قرین? لگاریتم سوپریمم انداز? عناصر آن افراز شمارا تعریف می کنیم. این آنتروپی خواصی دارد: از جمله این که آنتروپی افراز شمارا ترتیب تظریف را حفظ می کند، آنتروپی الحاق دو افراز شمارا بزرگ تر از آنتروپی هر کدام از آنهاست، ترتیب الحاق دو افراز تأثیری در آنتروپی ندارد و... که در چند قضیه ثابت کرده ایم. پس از آن آنتروپی شرطی را برای یک افراز شمارا تعریف و خواص آن را ثابت نموده ایم. در انتهای فصل دوم تابع آنتروپی را تعریف کرده ایم و قضیه ای دربار? ویژگی های آن آورده ایم. بعد از این سراغ تبدیل های حافظ ساختار رفته ایم. ابتدا مفهوم m-مجموعه را به صورت زیرمجموعه ای از f که شامل عناصر هم اندازه است، تعریف می کنیم. سپس جمع و ضرب چنین مجموعه هایی را به موازات اجتماع و اشتراک تعریف می کنیم. با استفاده از این مفاهیم تبدیل حافظ f-انداز? m را معرفی می نماییم. مهم ترین خاصیت تبدیل های حافظ m را ثابت کرده ایم یعنی این که این تبدیل ها آنتروپی افراز های شمارا را حفظ می کنند. بعد از اثبات تعدادی از ویژگی های چنین تبدیل هایی، آنتروپی این تبدیل ها را ابتدا به شرط یک افراز شمارا و سپس مستقل از افرازی خاص تعریف می نماییم. از آن جا که آنتروپی یک تبدیل حافظ m را با سوپریمم گیری بر تمام افرازهای شمارا تعریف کرده ایم و شاید تعداد این افرازهای شمارا خیلی زیاد باشد، باید روش هایی برای محاسب? این آنتروپی پیدا کنیم. به این منظور مفهوم افراز مولد را به صورت، افراز شمارایی که الحاق تصویر معکوس های هر افراز شمارا از جایی به بعد تظریفی از آن است، معرفی می کنیم. در این قسمت نسخه ای از قضی? کولوموگوروف-سینای را بیان و اثبات کرده ایم که برای این بحث مناسب شده است.