مدولهای کاملاً خودتوان
Abstract
در سرتاسر این پایان نامه، همواره با r-مدول های راست یکانی کار خواهیم کرد. همچنین حلقه r یکدار در نظر گرفته شده است. زیرمدولهای خودتوان و مدولهای کاملاً خودتوان توسط آقایان توتونکو (d. k.tütüncü)، ارتاس (n. o. ertas)، تریبک (r. tribak) و اسمیت (p. f. smith) تعریف می شوند. فرض کنید m یک r-مدول باشد. زیرمدول n را خودتوان در m گویند هر گاه که: n=hom(m,n)n توجه کنید که اگر a یک ایده آل راست حلقه r باشد، آنگاه a یک زیرمدول خودتوان مدول r_r می باشد اگر و تنها اگر a^2=a یعنی a یک ایده آل راست خودتوان r می باشد. در فصل اول مدول کاملاً خودتوان را به صورت زیر تعریف می کنیم. r-مدول m را کاملاً خودتوان گویند هرگاه هر زیرمدول آن خودتوان باشد. همچنین حلقه r را حلقه کاملاً خودتوان راست گویند هرگاه که r_rکاملاً خودتوان باشد یعنی برای هرایده آل راست r مانند a داشته باشیم a^2=a . در فصل دوم خواهیم دید که برای هرr-مدول مانند m، هر جمعوند مستقیم آن یک زیرمدول خودتوان می باشد. با توجه به مطلب فوق، نتیجه می گیریم که هر مدول نیم ساده کاملاً خودتوان است. همچنین نشان می دهیم که برای هر حلقه ای مانند r که منظم فون- نیومان نباشد، r-مدول آزاد r?r شامل یک زیرمدول خودتوان می باشد که جمعوند مستقیم نیست. می دانیم که هر ایده آل خودتوان متناهی مولد در یک حلقه جابه جایی مانند r، با یک عنصر خودتوان تولید می شود بنابراین یک جمعوند مستقیم r_r می باشد. نشان خواهیم داد که این وضعیت برای مدول ها روی حلقه های جابه جایی کاملاً یکسان نیست. به عنوان مثال اگر m یک مدول روی حلقه جابه جایی r باشد، آنگاه هر زیرمدول خودتوان دوریm یک جمعوند مستقیم می باشد (فصل 3 بخش1) اما لزومی ندارد که این مورد برای زیرمدول های خودتوان متناهی مولد برقرار باشد. در فصل سوم ثابت می کنیم که روی یک حلقه جابه جایی نوتری r ، یک r-مدول کاملاًًخودتوان است اگر و تنها اگر نیم ساده باشد. همچنین ثابت می کنیم که روی یک حلقه جابه جایی r ، هر r-مدول کاملاً خودتوان است اگر و تنها اگر r نیم ساده باشد. به عبارتی دیگر نشان خواهیم داد که اگر r یک حلقه ساده باشد، آنگاه هر r-مدول آزاد کاملاًًخودتوان است. به علاوه نشان خواهیم داد که هر جمع مستقیم مدول های کاملاً خودتوان بیتاب روی یک حلقه جابه جایی، کاملاً خودتوان است. در پایان زیرمدول های خودتوان مدول های آزاد مشخص می شوند.