رنگ آمیزی گراف ها و ابرگراف ها
Abstract
یک $k$-رنگ آمیزی یالی در گراف $g$ تابعی مانند $f:e(g)longrightarrow l$ می باشد به طوری که $|l|=k$ و برای هر دو یال مجاور $e_1$ و $e_2$ در $g$، داشته باشیم $f(e_1) eq f(e_2)$. گراف $g$، $k$-رنگ پذیر یالی است اگر برای $g$ یک $k$-رنگ آمیزی یالی وجود داشته باشد. عدد رنگی یالی گراف $g$ که با نماد $chi(g)$ نمایش داده می شود، کوچکترین مقدار $k$ است که $g$ دارای $k$-رنگ آمیزی یالی است. مشهورترین قضیه در رنگ آمیزی یالی گراف ها منسوب به ویزینگ می باشد و بیان می کند برای گراف دلخواه $g$، همواره $delta(g)le chi(g)le delta(g)+1$، که در آن $delta(g)$ ماکزیمم درجه گراف می باشد. بر این اساس یک گراف را کلاس $1$ گویند اگر $chi(g)=delta(g)$ و کلاس $2$ گویند اگر $chi(g)=delta(g)+1$. همچنین زیر گراف القائی روی رئوس ماکزیمم درجه در گراف $g$ را هسته گراف می گویند و آن را با نماد $g_{delta}$ نمایش می دهند. تعیین کلاس 1 یا کلاس 2 بودن یک گراف از جمله مهم ترین مسائل در مبحث رنگ آمیزی یالی گراف ها می باشد. برای مثال ثابت شده است که اگر $g_{delta}$ جنگل باشد، آن گاه $g$ کلاس 1 است. در این رساله این قضیه را بدین صورت تعمیم داده ایم که اگر $g_{delta}$ به صورت اجتماعی از درخت ها و گراف های تک دور باشد و اجتماعی از دورها نباشد، آن گاه $g$ کلاس 1 است. همچنین حدس بسیار مهمی در رنگ آمیزی یالی گراف ها توسط هیلتون و ژائو مطرح شده است که در آن گراف های کلاس $2$ را بر اساس ساختار هسته شان رده بندی می کند و بیان می کند اگر $g$ گرافی همبند بوده به طوری که $delta(g_{delta})leq 2$، آن گاه $g$ کلاس $2$ است اگر و تنها اگر $|e(g)| > iglfloor frac{|v(g)|}{2}ig floor delta(g)$ یا $g= p^*$، که در آن $p^*$ گراف حاصل از حذف یک رأس گراف پترسن است. در راستای این حدس تا به حال نتایج گوناگونی بدست آمده است که حدس را برای حالاتی خاص مانند $|g_{delta}|in {3,4,5}$ یا $delta(g)=3$ ثابت می کنند. در این رساله توانسته ایم این حدس را برای گراف هائی که دارای برش یالی از سایز حداکثر 2 هستند، برای گراف های زوج رأسی که دارای هسته ای فرد رأسی هستند و همچنین برای گراف های زوج رأسی که سایز هسته شان حداکثر $9$ رأس باشد یا هسته شان یک دور از سایز حداکثر $13$ باشد ثابت کنیم.