وجود و چندگانگی جوابهای مثبت برای رده ای از معادلات و دستگاه های بیضوی
Abstract
ابتدا تعاریف و مفاهیمی را که در این رساله مورد استفاده قرار می گیرد را بیان می کنیم. سپس به معرفی فضاهایی می پردازیم که با آن ها سر و کار خواهیم داشت. و در پایان به معرفی چند قضیه و اصل می پردازیم. رده ای از دستگاه های بیضوی شبه خطی تباهیده egin{equation*} left{egin{array}{ll} -div (h_1 (x)| abla u|^{p-2} abla u )=lambda a(x)|u|^{p-2}u +lambda b(x)|u|^{alpha-1}|v|^{eta+1}u+f_u(x,u,v) -div (h_2 (x)| abla v|^{q-2} abla v)=lambda d(x)|v|^{q-2}v +lambda b(x)|u|^{alpha+1}|v|^{eta-1}v+f_v(x,u,v) end{array} ight. end{equation*} با شرط مرزی دیریکله در دو حالت مختلف ، بر اساس توان های $ heta$, $delta$، egin{equation*} frac{ heta+1}{p}+frac{delta+1}{q} 1~~~~~ extrm{و}~~~~frac{ heta+1}{p^*}+frac{delta+1}{q^*}<1. end{equation*} مورد بررسی قرار می دهیم. از روش های تغییراتی برای به دست آوردن جواب استفاده می کنیم. نتایج وجودی و چندگانگی برای دستگاه های $(p,q)$ - لاپلاسین egin{equation} left{egin{array}{ll} delta_pu=|u|^{p-2}u-f_u(x,u,v)+h_1(x) delta_qv=|v|^{q-2}u-f_v(x,u,v)+h_2(x) end{array} ight. end{equation} با شرط مرزی غیرخطی egin{equation*}| abla u|^{p-2}frac{partial u}{partial u}=lambda a(x)|u|^{p-2}u, ~~~~| abla v|^{q-2}frac{partial v}{partial u}=mu b(x)|v|^{q-2}v end{equation*} با استفاده از اصل تغییراتی ایکلند، قضیه مسیر کوهی و قضیه نقطه ی بحرانی به دست می آید. مساله مقدار مرزی egin{equation}label{1.1} left{egin{array}{ll} -delta_p u(x)+lambda|u(x)|^{p-2}u(x)=f(x,u(x)) & xin omega u(x) = 0 & xin partial omega end{array} ight. end{equation} که $delta_p$ عملگر p-لاپلاسین و $omega in c^{0,1}$ یک ناحیه کراندار در $r^n$ است.