عملگرهای خودالحاق بر رویه ها در r^4
Abstract
بر رویه ی هموار و جهت پذیر m در فضای اقلیدسی ، می توان عملگر خود الحاق شکل s را بر صفحات مماس در هر نقطه ی m تعریف کرد. با عملگر شکل s می توان از طریق محاسبه ی خمیدگی های اصلی، میانگین، گاوسی و نیز تعریف و محاسبه ی راستاهای اصلی، مجانبی، مشخصه و... شکل رویه را تعیین کرد. بر m سه جفت برگ بندی تعریف می شود که به s وابسته هستند، این برگ بندی ها شامل خطوط انحنای اصلی، خم های مجانبی و خم های مشخصه هستند که خطوط انحنای اصلی در نقاط غیر نافی رویه، خم های مجانبی در ناحیه ی هذلولوی رویه و خم های مشخصه در ناحیه ی بیضوی رویه تعریف می شوند. در مختصات موضعی سه جفت برگ بندی مذکور با معادلات دیفرانسیل دوتایی (bdes) که به عنوان معادلات دیفرانسیل درجه ی دوم نیز شناخته می شوند، نشان داده می شود. این معادلات به صورت a(x,y)dy^2+2b(x,y)dxdy+c(x,y)dx^2=0 هستند که ضرایب a، b و c توابع حقیقی هموار در نقطه ی (x,y) می باشند. در این پایان نامه تلاش شده یک روش طبیعی برای تولید جفت هایی از راستاهای متعامد یکه (راستاهای اصلی) در بیشتر نقاط بر رویه ی هموار m در ارائه شود. تعریف ما در این مورد از مفاهیم مطالعه شده درباره ی عملگرهای شبه شکل بر رویه های مشتق می شود. یک مفهوم کلیدی در این بحث، این است که معادله ی دیفرانسیل دوتایی مجانبی بر رویه ی دو بعدی هموار در خوش تعریف است (برای دیدن جزئیات بیشتر به [27] مراجعه کنید). بنابراین عملگر خود الحاق s در این حالت می تواند از معادله ی دیفرانسیل دوتایی مجانبی به دست آید و نیز می توان راستاهای شبه اصلی و شبه مشخصه را با این عملگر تعیین کرد. معادلات دیفرانسیل دوتایی خم های مجانبی، اصلی و مشخصه مشابه معادلات دیفرانسیل دوتایی رویه های رفتار می کنند. نشان می دهیم که میدان برداری قائم بر m وجود دارد به طوری که راستاهای اصلی که اینجا تعریف می شوند راستاهای - اصلی هستند که در [34] تعریف شده اند. در فصل اول این پایان نامه به بیان مفاهیمی نظیر عملگر شکل، معادلات دیفرانسیل دوتایی خم های اصلی، مجانبی و مشخصه در فضای اقلیدسی می پردازیم همچنین قضایا و لم هایی را که برای اثبات قضایای اصلی مورد نیاز است، بیان و برخی از آن ها را اثبات می کنیم. در فصل دوم خواص کلی رویه های نشانده شده در r^n را توضیح می دهیم و همچنین با تعریف عملگر شبه شکل، شرایط تبدیل آن به عملگر شکل را بیان می کنیم. در ادامه ی این فصل جزئیات معادلات دیفرانسیل دوتایی خم های شبه اصلی، شبه مشخصه و شبه مجانبی حاصل از عملگر شبه شکل را تبیین خواهیم کرد. فصل سوم نیز به بررسی پیکره ی خم های جواب معادلات دیفرانسیل دوتایی شبه مجانبی و شبه مشخصه در تکینگی مشترک آن ها پرداخته و با بیان و اثبات گزاره ی (3 .2 .2) نشان می دهیم نوع این تکینگی در دو معادله یکی نیست. در همین گزاره ثابت می کنیم که نوع نقاط شبه نافی معادلات دیفرانسیل دوتایی شبه اصلی و شبه مشخصه ارتباطی به هم ندارند. در انتها به تعریف دقیق خم های اصلی بر رویه ها در مطابق مفاهیم و اصطلاحات این پایان نامه پرداخته و معادلات دیفرانسیل دوتایی این خم ها و خم های مشخصه را بیان و اثبات می کنیم.