دسته بندی استغراق های ریمانی صادق در یک تساوی اساسی
Abstract
در سری مقالات (4)و (5) و (6) و (7)، کارتان تلاش کرد که ابررویه های هم محیط را دسته بندی کند، اما موفق به دسته بندی کامل آن ها نشد. در واقع فرمول های اساسی کارتان اطلاعات کافی برای مشخص کردن تعداد انحناهای اصلی ممکن را برای ابررویه های نمی دهند. بعدها مانر با روش های توپولوژی جبری نشان داد که تعداد انحناهای اصلی ممکن را برای ابررویه های نمی دهد. بعدها مانژنر با روش های توپولوژی جبری نشان داد که تعداد انحناهای اصلی مجزا ابررویه های هم محیط برابر 1، 2، 3، 4، و یا 6 است. کارتان ابررویه های هم محیط با حد اکثر 3 انحنای اصلی مجزا را دسته بندی کرد و نشان داد که این ابررویه ها همگن هستند. یک حالت خاص از این ابررویه ها با معادله ی مشخص در داخل ، با نام ابررویه کارتان، یکسان با فضای همگن su(3)/so(3) است. شرط لازم و کافی برای اینکه ابررویه هم محیط در داخل s4، تبدیل به ابررویه کارتان شود این است که دارای انحناهای اصلی صفر، و - باشد. چن زیر خمینه های غوطه ور در s4 را همراه با شرایطی معرفی می کند که معادله ابررویه کارتان شوند و در واقع دسته بندی جدیدی از ابررویه کارتان ارائه می دهد.