روابط بین پرمننت و دترمینان
Abstract
فرض کنید m_n(f) فضای خطی از ماتریس های مربعی از اندازه n روی میدان f باشد, که f حداقل n عضو دارد به طوری که مشخصه اش 2 نیست و h_n(f) زیرفضای یک فضای برداری ماتریس های مربعی n×n روی میدان f باشد که شامل ماتریس های متقارن مربعی از اندازه n است. برای هر a=?(a)?_ij?m_n(f) تابع پرمننت pera=???a_(1?(1))…a_(n?(n)) ?_(??s_n ) , به طور مشابه با تابع دترمینان deta=???sgn(?)a_(1?(1))…a_(n?(n)) ?_(??s_n ) تعریف می شود. در هر دو مورد مجموع روی همه جایگشت های ??s_n تعریف شده است, که s_n مجموعه همه جایگشت های {1,2,…,n} است. مقدار sgn(?)?{-1,1} علامت جایگشت ? است, به طوری که sgn(?)=1 , اگر? یک جایگشت زوج باشد و sgn(?)=-1 , اگر ? یک جایگشت فرد باشد. مسلما دترمینان یک ماتریس, یکی از توابعی است که در مورد آن در ریاضیات مطالعات زیادی شده است. از دیدگاه هندسی, قدرمطلق دترمینان برابر است با حجم متوازی السطوحی که اضلاع آن, سطرها (یا ستون های) ماتریس است و از دیدگاه جبری, دترمینان حاصل ضرب همه مقدار ویژه هایش است. تابع پرمننت نیز به خوبی مطالعه شده است, مخصوصا در ترکیبیات; به [18] مراجعه کنید. برای مثال, اگر a یک ماتریس (0,1) باشد, آن گاه مقدار pera برابر است با تعداد تطابق های کامل در یک گراف دوبخشی با ماتریس مجاورت a. هیچ تعبیرهندسی یا جبری مناسب برای پرمننت شناخته شده نیست. علاوه بر این پرمننت, ویژگی دترمینان را ندارد; به طور خاص, پرمننت نسبت به ترکیب خطی هر یک از سطرها یا ستون ها پایدار است. به نظر می رسد محاسبه پرمننت یک ماتریس دارای پیچیدگی محاسباتی متفاوتی از محاسبه دترمینان است. دترمینان با یک الگوریتم زمانی چندجمله ای محاسبه می شود. برای مثال در روش حذفی گاوس عملیات از o(n^3) است. در همین زمان هیچ الگوریتم کارایی برای تابع پرمننت شناخته نشده است ولی احتمالا وجود دارد. با توجه به تعریف, در محاسبه پرمننت (n-1)n! ضرب داریم و یکی از بهترین الگوریتم ها برای محاسبه پرمننت, استفاده از فرمول رایزر [21] است, که دارای پیچیدگی توانی (n-1)(2^n-1) ضرب است. در اوایل 1913 , محققان تلاش کرده اند تا راهی برای محاسبه پرمننت با استفاده از دترمینان بیابند. به طور دقیق تر, دنبال کردن این مسائل, قبل از این که پولیا [19] روی آن کار کند, کم تر مورد توجه بود. مسئله 0101: آیا راهی منحصربفرد برای علامت گذاری ± درایه های ماتریس a?m_n (f) وجود دارد به طوری که per(a_ij)=det (±a_ij) ؟ مسئله 0102: ماتریس (0,1) , a?m_n (f) داده شده است , آیا یک ماتریس تبدیل b وجود دارد, که با تغییر یک درایه +1 ماتریس a به-1 داشته باشیم: pera=detb مسئله 0103: تحت چه شرایطی یک تبدیل خطی مانند t:? m?_n (f)? m_n (f) وجود دارد به طوری که pera=dett(a) (1) مسئله 101 با جواب منفی توسط زگو در [23] حل شده است. به این ترتیب که او ثابت کرده است که برای n?3 هیچ تعمیمی برای فرمول 104 که در فصل 4 به آن اشاره شده است, وجود ندارد. معادله 102 در حال بررسی است. زیرا آن متعلق به یک کلاس معروف از مسئله های معادل است. که معادل با یکی از این هاست: چه وقت یک ماتریس مربعی حقیقی, دارای این خاصیت است که هر ماتریس حقیقی با الگوی علامتی یکسان, نامنفرد است؟ یک گراف جهت دار داده شده است, آیا این گراف هیچ دور جهت دار با طول زوج دارد؟ برای دیدن جزئیات بیش تر و اطلاعات درون آن [[4],[20],[22]] را ببینید. مسئله 103 حالت کلی مسئله 101 است. یعنی علامت گذاری ± درایه های یک ماتریس یک مثال از یک تبدیل خطی معین با ساختار ساده است. ممکن است پرسیده شود که چگونه تبدیل خطی پیچیده تر t:? m?_n (f)? m_n (f) وجود دارد که در رابطه 1 صدق کند. فرض کنید v یک زیرفضای m_n (f) باشد. گوییم دترمینان قابل تبدیل به پرمننت روی v است, اگر یک تبدیل خطی مانند t: v?v وجود داشته باشد به طوری که برای هر x?v داشته باشیم: per(t(x))=det(x) . خاصیت قابل تبدیل بودن دترمینان به پرمننت طی چند سال در شرایط مختلف بررسی شده است. این شرایط روی ماتریس های خاص (متقارن, منفرد) و هم چنین با شرط گذاشتن روی ویژگی میدان (میدانی با مشخصه مخالف 2 , میدانی با اندازه بزرگ و ...) نشان داده شده است. در [16] لیم ثابت کرده است که اگر n?3 وf یک زیرمیدان از میدان حقیقی باشد, دترمینان قابل تبدیل به پرمننت روی زیرفضای ماتریس های متقارن نیست. در [17] مارکوس و مینک ثابت کرده اند که اگر n?3 و f یک میدان با مشخصه صفر باشد, آن گاه دترمینان روی m_n (f) قابل تبدیل به پرمننت نیست. اثبات دیگر نتیجه مارکوس و مینک توسط بوتا در [3] آمده است. هم چنین ون زور گاتن در [25] بررسی کرده است که تبدیل خطی t: m_n (f)? m_n (f) برای هر a?m_n (f) در deta=pert(a) (2) صدق می کند و نشان داده است که اگر یک t وجود داشته باشد, آن گاه m>?2n-6?n این نتایج بعدا ثابت شده است. برای مثال کای [5] و منابع درون آن را ببنید. در فصل 2 کاردینالیتی روی یک مجموعه از ماتریس ها با دترمینان صفر را با کاردینالیتی یک مجموعه از ماتریس ها با پرمننت صفر مقایسه می کند. به عبارت دیگر در این فصل به این موضوع پرداخته شده است که تبدیل هر ماتریس با پرمننت صفر به ماتریس های منفرد (با دترمینان صفر) ممکن نیست. کوالهو و دافنر ثابت کرده اند که اگر n?3 و f یک میدان با حداقل n عضو باشد به طوری که مشخصه آن 2 نیست, آن گاه دترمینان روی زیرفضای ماتریس های متقارن قابل تبدیل به پرمننت نیست. به علاوه نشان داده شده است که دترمینان روی h_2 (f) به پرمننت قابل تبدیل است که در فصل 3 به این موضوع پرداخته شده است. در فصل 4 به این موضوع اشاره می کنیم که دولینار در مقاله [7] ثابت کرده است که اگر f یک میدان متناهی با مشخصه متفاوت از 2 باشد و کاردینالیتی میدان f به اندازه کافی بزرگ باشد, آن گاه هیچ نگاشت دوسویی روی m_n (f) وجود ندارد, به طوری که دترمینان را به پرمننت تبدیل کند. هم چنین یک مثال از نگاشت غیردوسویی زمانی که f دلخواه و یک مثال از نگاشت دوسویی زمانی که f متناهی است بیان می کنیم, به طوری که یک تبدیل خطی از پرمننت به دترمینان وجود داشته باشد.