بررسی مدول های کوهمولوژی موضعی تعریف شده توسط جفت ایده آلها و زیررسته های سر
Abstract
فرض کنیم $rhspace{1mm}$ حلقه ای جابجایی، یکدار، نوتری و $i$ و $j$ ایده آل هایی از آن باشند. هم چنین فرض کنیم $m$ یک $r$-مدول و $t$ عدد صحیح نامنفی باشد. ابتدا ثابت کرده ایم که اگر $mathrm{ext}^t_r(r/i,m)$ یک $r$-مدول متناهی و ${h}^t_i(m)$ یک $r$-مدول مینی ماکس و برای هر $i<t$، ${h}^i_i(m)$ مدول های $i$-هم متناهی باشند، آنگاه ${h}^t_i(m)$ یک $r$-مدول $i$-هم متناهی است. به عنوان نتیجه ای از آن نشان داده ایم که اگر $m$ و $n$ دو $r$-مدول متناهی باشند به طوری که برای هر $i<t$، ${h}_i^i(n)$ مینی ماکس باشد، آنگاه $mathrm{ass}ig({h}^t_i(m,n)ig)$ مجموعه ای متناهی است. اگر $mathcal{s}$ یک زیر رسته ی سر، $mathfrak{a}in ilde{w}(i,j)={mathfrak{a} rianglelefteq rvert~exists ninmathbb{n}_0;i^nsubseteq j+mathfrak{a}}$ و $tinmathbb{n}_0$ چنان باشند به طوری که $mathrm{ext}^t_r(r/mathfrak{a},m)in mathcal{s}$ و برای هر $0leq j$ و هر $i<t$ داشته باشیم $mathrm{ext}^j_rig(r/mathfrak{a},{h}^i_{i,j}(m)ig)inmathcal{s}$، آنگاه برای هر زیر مدول $n$ از ${h}^t_{i,j}(m)$ با شرط $mathrm{ext}^1_rig(r/mathfrak{a},nig)in mathcal{s}$، ثابت کرده ایم که $r$-مدول $mathrm{hom}_rig(r/mathfrak{a},{h}^t_{i,j}(m)/nig)$ نیز به $mathcal{s}$ تعلق دارد. هم چنین زیر رسته ی $mathcal{c}(mathcal{s},i,j)$ از رسته ی $r$-مدول ها را معرفی کرده و ثابت کرده ایم اگر برای هر $0leq i$، $mathrm{ext}^i_r(r/i,m)inmathcal{s}$ و برای هر $i<t$، ${h}^i_{i,j}(m)in mathcal{c}(mathcal{s},i,j)$، آنگاه خواهیم داشت $mathrm{hom}_rig(r/i,{h}^{t+1}_{i,j}(m)ig)inmathcal{s}$ اگر و فقط اگر $mathrm{ext}^2_rig(r/i,{h}^t_{i,j}(m)ig)inmathcal{s}$. در ادامه، ارتباط بین صفر شدن مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به جفت ایده آل و مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به یک ایده آل مورد بررسی قرار گرفته و ثابت شده است اگر به ازای هر $i<t$، ${h}^i_{i,j}(m)=0$، آنگاه برای هر $i<t$ و هر $mathfrak{a}in ilde{w}(i,j)$ خواهیم داشت ${h}^i_mathfrak{a}(m)=0$. از این رو برای هر $mathfrak{a}in ilde{w}(i,j)$ نتیجه می شود $mathrm{grade}(i,j,m)leq mathrm{grade}(mathfrak{a},m)$ و تساوی زمانی برقرار خواهد بود که $mathrm{ext}_r^t(r/mathfrak{a},m) eq 0$. علاوه بر آن ثابت شده است که اگر ایده آل $mathfrak{a}$ توسط یک $m$-رشته $k$-منظم به طول $n$ تولید شود و شرط $$big(ig(mathrm{supp}(m)cap w(mathfrak{a},j)ig)igackslash w(i,j)big)_{leq k}=emptyset$$ برقرار باشد، آنگاه برای هر $i<n$ خواهیم داشت ${h}^i_{i,j}(m)cong {h}_{mathfrak{a},j}^i(m)$.