همریختی های فشرده روی جبرهای لیپ شیتس از توابع مشتق پذیر
Abstract
این پایان نامه که شامل 4 فصل می باشد به بررسی همریختی های فشرده بین این نوع جبرهای لیپ شیتس می پردازیم. برای این منظور ابتدا جبرهای لیپ شیتس را معرفی می کنیم و شرایطی را که این جبرها، کامل و همچنین طبیعی باشند، بیان می نماییم. سپس به بررسی همریختی ها روی جبرهای لیپ شیتس پرداخته و شرایط لازم و کافی را برای این که همریختی ها فشرده باشند، بیان می نماییم در فصل اول، مفاهیم مقدماتی موردنیاز را یادآوری می کنیم. فصل دوم شامل سه بخش می باشد: در بخش اول، عملگرهای فشرده روی فضاهای باناخ را معرفی و برخی قضیه های مربوط به آن را بیان می کنیم. در بخش دوم، ابتدا همریختی ها روی جبرهای تابعی را معرفی می نماییم، سپس قضیه مشخص سازی همریختی های فشرده روی جبرهای تابعی را بیان و اثبات می نماییم. هرگاهa و b جبر تابعی باناخ با فضای ایده آل ماکسیمالm (a) و m (b) باشند، همریختی t:a? bرا القا شده توسط نگاشت?:m (b) ? m (a) گوییم هرگاهtf = f ^? ? برای هر .f ?aدر حالتی کهa و b جبرهای تابعی باناخ طبیعی باشند، همریختی القا شده t:a? bدر رابطه بالا به صورت tf = f ? ? برای هر f ?aمی باشد که در آن m(a) فضای ایده آل ماکسیمالa است. چنان چه a=b نگاشت t درونریختی القا شده توسط ? نامیده می شود. در بخش سوم، جبر نرم دار d1(x)را روی مجموعه فشرده و کامل x معرفی نموده و برای یک جبر تابعی طبیعی bزیرمجموعه d1(x) است وطیف درونریختی های فشرده t:b ? b را بررسی می کنیم. فصل سوم شامل سه بخش می باشد: در بخش اول، ابتدا x را یک مجموعه فشرده و کامل در صفحه مختلط در نظر می گیریم، سپس به معرفی جبر تابعیdn(x) متشکل از همه توابع مختلط مقدار روی x که دارای مشتق مرتبه nام پیوسته رویx است، می پردازیم و شرایطی را بیان می کنیم کهdn(x) تحت نرمش کامل است. سپس برای یک دنباله جبری m=(mn)جبر d(x,m) متشکل از توابع بی نهایت بار مشتق پذیر را تعریف می کنیم. در بخش دوم، ابتدا جبرهای لیپ شیتس از توابع مشتق پذیر lip(x,m,?) را روی مجموعه فشرده و کاملx تعریف کرده سپس به ارائه برخی زیرجبرهای آن پرداخته، شرایط کامل بودن و طبیعی بودن این نوع جبرهای لیپ شیتس را بیان می نماییم. در بخش سوم، شرایط کافی را برای این که نگاشت?:x?y یک همریختیt: lip(y,m,?) ? lip(x,m,?) القا کند، بیان می کنیم. فصل چهارم شامل چهار بخش می باشد: در بخش اول، شرط کافی برای این که نگاشت ? :x ?y یک درونریختی فشرده مانند t: lip(x,m,?)? lip(x,m,?) را وقتی x=[0,1] القا کند، بیان می کنیم. در بخش دوم، درحالتی که xیک مجموعه کلی باشد، شرط کافی برای این که? : x ? x یک درونریختی فشرده مانند t: lip(x,m,?)? lip(x,m,?) را القا کند، بیان می کنیم.در بخش سوم، عکس مسأله را در حالتی که x گوی واحد بسته یا دایره واحد باشد، بررسی می کنیم. یعنی بررسی می کنیم اگرm=(mn) یک دنباله غیرتحلیلی، 0< ? <1 و درونریختی فشرده t: lip( x,m,?)? lip(x,m?) توسط خودنگاشت ?: x ?x القا شده باشد، آنگاه |?(z)|<1 هرگاه حداقل یکی از شرایط مورد نظر را داشته باشد. در بخش چهارم، وقتی کهxیک مجموعه منظم یکنواخت و جبرهای لیپ شیتس طبیعی باشند، به بررسی طیف درونریختی های فشرده روی جبرهای لیپ شیتس می پردازیم.
