گانه طرح بلوکی و وجود ترید مسأله اشتراک
Abstract
فرض کنید $v,k,t$ سه عدد طبیعی باشند، به طوری که $v>k>t$ و $x$ یک $v$-مجموعه باشد. اگر $t_1$ و $t_2$ دو گردایه ای مجزا از بلوک های $k$-تائی باشند، به گونه ای که هر $t$-تایی به تعداد یکسان در هر دو دسته ظاهر شود، آن گاه $t={t_1,t_2}$ را یک $(v,k,t)$ ترید گوییم. یک $ (v,k,t)$ ترید را اشتاینری گوییم، هر گاه هر دوتایی حداکثر یک مرتبه در $(t_2)t_1$ ظاهر شود. $(mugeq2) mu$ گردایه از بلوک ها را در نظر بگیرید، به گونه ای که هر دوی آن تشکیل یک $(v,k,t)$ ترید دهند، به این خانواده از گردایه ها یک $ mu-(v,k,t) $ ترید و یا به اختصار ترید $mu$گانه گوییم. یک $ mu-(v,k,t) $ ترید را اشتاینری گوییم، هر گاه هر دوتایی حداکثر یکبار در $t_1(t_i, 2leq ileq mu)$ ظاهر شود. منظور از $mathcal{s}_{mu}(t,k)$ $(mathcal{s}_{mu s}(t,k)) $ طیف حجم ترید سه گانه (ترید سه گانه اشتاینری) است، به عبارتی دیگر مقادیری که $ mu-(v,k,t) $ ترید از آن حجم وجود دارد. در این رساله نشان می دهیم: $mathcal{s}_{3}(2,k)$ شامل $mathbb{n}setminus{1,2,3,4,5}$, به جز احتمالا 7 می باشد. همچنین $mathcal{s}_{3}(2,3)$ و $s_{3s}(2,k)$ برای $k=3,4$ به طور کامل مشخص شده اند. در رابطه با $ mu-(v,k,t) $ تریدهای اشتاینری، برای هر اندازه بلوک دلخواه نیز به این نتایج دست یافته ایم: $s_{3s}(2,k)subseteq mathbb{n}setminus{1,2,dots,3k-4}$ برای $k e 4$، $m otin s_{3s}(2,k)$ برای $3k-3leq mleq4k-7$، $m e 3t$ و $kgeq 8$. همچنین با استفاده از مجموعه های منحصراً متوازن موفق به ساخت تریدهای سه گانه اشتاینری از حجم $m=rn$ برای $n otin{1,2,5}$ و $rgeq3(k-1)$ یا $r=k-1$ شدیم. موضوع ترید به صورت گسترده ای با بحث اشتراک طرح های بلوکی مرتبط است. از این رو مسأله اشتراک سه طرح $s(2,4,v)$ در این پایان نامه بررسی شده است. دو طرح بلوکی $(v_1,b_1)$ و $(v_2,b_2)$ در $k$ بلوک اشتراک دارند، اگر $ .|b_1cap b_2|=k $ مسأله اشتراک به این صورت تعمیم می یابد، $ mu $ طرح بلوکی در $ k$ بلوک اشتراک دارند، هر گاه هر دوی آن ها در $ k $ بلوک یکسان مشترک باشند. همان گونه که می دانیم ، تنها برای $vequiv1,4 ({ m{mod}} 12)$ یک طرح $s(2,4,v)$ وجود دارد. تعداد بلوک های این طرح را با $b_v$ نمایش می دهیم. در این صورت اگر مجموعه طیف اشتراک سه طرح $s(2,4,v)$ را با $j_{3}[v]$ نمایش دهیم و تعریف کنیم: $i_{3}[v]={0,dots,b_v}setminus{b_v-7,b_v-6,b_v-5,b_v-4,b_v-3,b_v-2,b_v-1}$. آن گاه نتیجه اصلی به دست آمده، عبارت است از $ j_{3}[v]=i_{3}[v]$ برای هر $vgeq49$ و $vequiv1,4 ({ m{mod}} 12)$. زمانی که $vleq49$، $j_{3}[13]$ و $j_{3}[16]$ به طور کامل مشخص شده است و برای $vin{25,28,37}$ مقادیری از $j_{3}[v]$ مشخص شده است.