پیکربندی روی گروهها و نیم گروههای توپولوژیکی
Abstract
در سال 2001 برای اولین بار مفهوم پیکربندی یک گروه معرفی شد و ثابت شد که یک گروه میانگین پذیر است اگر و تنها اگر، هر دستگاه معادلات همگن پیکربندی، دارای جواب ناصفر و نامنفی باشد؛ ثابت می کنیم که اگر دو گروه دارای پیکربندی یکسان باشند آنگاه میانگین پذیری یکی، میانگین پذیری دیگری را نتیجه می دهد و عدد تارسکی دو گروه هم پیکر نیز مساوی خواهند بود. از آن زمان تاکنون این مفهوم بیشتر در حوزه نظریه گروه ها گسترش پیدا کرده است و خواص گروهی بسیاری از تساوی پیکربندی دو گروه نتیجه شده است. برای مثال ثابت شده است که اگر دو گروه دارای پیکربندی یکسانی باشند و یکی از آنها آبلی (به ترتیب، متناهی) باشد دیگری نیز آبلی (به ترتیب، متناهی) است و دو گروه یکریخت هستند. یکی از اهداف این رساله، اثبات یکریختی دو گروه هم پیکر برای گروههایی مثل گروه های برنساید آزاد، گروه های مانده متناهی وfc – گروه هاست. همچنین برای رده ای از گروه ها ثابت می کنیم که اگر دو گروه متناهی تولید شده دارای پیکربندی یکسان باشند در این صورت عدد اصلی این دو گروه برابر است و آنها دارای زیرگروه های مرکز و جابجاگر یکریخت هستند ضمن اینکه برای یک گروه متناهی با استفاده از فرمول استرلینگ، تعداد عناصر مجموعه پیکربندی های گروه را به دست می آوریم. در این رساله پیکربندی یک نیم گروه را نیز بررسی می کنیم و ارتباط آن را با میانگین پذیری به دست می آوریم؛ در واقع مفهوم جدیدی از میانگین پذیری گروه و نیم گروه را تعریف می کنیم که از پیکربندی گرفته می شود و شامل میانگین پذیری داخلی گروه و میانگین پذیری نیم گروه ها است.یکی از اهداف این رساله، اثبات یکریختی دو گروه هم پیکر برای گروههایی مثل گروه های برنساید آزاد، گروه های مانده متناهی وfc – گروه هاست. همچنین برای رده ای از گروه ها ثابت می کنیم که اگر دو گروه متناهی تولید شده دارای پیکربندی یکسان باشند در این صورت عدد اصلی این دو گروه برابر است و آنها دارای زیرگروه های مرکز و جابجاگر یکریخت هستند ضمن اینکه برای یک گروه متناهی با استفاده از فرمول استرلینگ، تعداد عناصر مجموعه پیکربندی های گروه را به دست می آوریم.در این رساله پیکربندی یک نیم گروه را نیز بررسی می کنیم و ارتباط آن را با میانگین پذیری به دست می آوریم؛ در واقع مفهوم جدیدی از میانگین پذیری گروه و نیم گروه را تعریف می کنیم که از پیکربندی گرفته می شود و شامل میانگین پذیری داخلی گروه و میانگین پذیری نیم گروه ها است.