رنگ آمیزی منصفانه ی گراف ها
Abstract
فرض کنید g یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوسv(g) و مجموعه یال هایe(g) باشد. یک -kرنگ آمیزی رأسی از گراف g ، یعنی تخصیص k رنگ به رئوس g به گونه ای که رأس های مجاور هم رنگ نباشند. اگر در گراف g یک - k رنگ آمیزی وجود داشته باشد به طوری که اختلاف اندازه ی کلاس های رنگی، حداکثر یک باشد، آنگاه گراف g را -k رنگ پذیر منصفانه گویند. کوچکترین عدد صحیح k که به ازای آن گرافg ،-k رنگ پذیر منصفانه است را عدد رنگی منصفانه گویند و با نماد ?_= (g) نشان می دهند. رنگ آمیزی منصفانه اولین بار در سال 1973 توسط میر معرفی شده است. میر حدس زد که برای هر گراف همبند g، به جز گراف کامل و دور فرد، ?_= (g)??(g). این حدس به حدس رنگ آمیزی منصفانه ( ecc ) معروف شد و مورد توجه محققان قرار گرفت. برخلاف رنگ آمیزی رأسی، اگر گرافی دارای یک -kرنگ آمیزی منصفانه باشد، لزوماً دارای- (k+1) رنگ آمیزی منصفانه نیست. به عبارت دیگر گراف هایی با عدد رنگی منصفانه کمتر از ?(g) وجود دارند که دارای?(g) -رنگ آمیزی منصفانه نیستند. چن و همکارانش در سال 1994 حدس زدند که اگر gیک گراف همبند غیر از گراف کاملk_n و دور فرد c_(2n+1) و گراف دوبخشی کامل k_(2n+1,2n+1) باشد، آنگاهg ،k -رنگ پذیر منصفانه است. این حدس به حدس? -رنگ آمیزی منصفانه ( e?cc ) معروف شد. مشاهده می شود که ( e?cc ) قوی تر از ( ecc ) است. در این پایان نامه ضمن مروری بر اهمیت حدس ? -رنگ آمیزی منصفانه برای کلاس های خاصی از گراف ها از جمله گراف های دوبخشی، درخت ها، گراف های کنسر، گراف های بازه ای، گراف های سری-موازی، گراف های با تباهندگی کم و گراف های با عرض درختی کران دار، به طور ویژه به بررسی دقیق ( e? cc ) برای گراف های مسطح و گراف های مسطح بیرونی می پردازیم.