روش عناصر مرزی برای حل مسائل مقدار مرزی شامل معادلات با مشتقات جزئی غیر متعارف

4.2.1 در سالهای اخیر روش عناصر مرزی بدلیل مزیتهای آن نسبت به روشهای عناصر محدود و تفاضلات متناهی مورد توجه بسیار قرار گرفته است . در اینجا بعضی از این مزایا را ذکر می کنیم. 1 - عمل تقریب زدن در روش عناصر مرزی فقط بر روی مرزها صورت می گیرد. در صورتی که در روش عناصر محدود و تفاضلات متناهی این تقریب بر روی تمام دامنه صورت می گیرد. 2 - در روش عناصر مرزی، کلیهء مشخصات دامنه به مرزها منتقل شده است . بنابراین مرزهای محدوده، در واقع نمایندهء تمام دامنه می باشند. و از آنجایی که محاسبهء پتانسیل در هر نقطه به کمک انتگرال گیری که در واقع تجمع مشخصات می باشد صورت می گرفت ، لذا محاسبات در یک نقطه دامنه تاثیر پذیر بود. به همین دلیل جوابهای حاصله نسبت به روش عناصر محدود و تفاضلات متناهی که در واقع با جزئی از دامنهء محاسبات صورت می گیرد، از دقت بیشتری برخوردار خواهد بود. 3 - حجم اطلاعات لازم به دلیل کم بودن المانها جهت آنالیز مسئله نسبت به روش عناصر محدود و تفاضلات متناهی که در واقع با جزئی از دامنهء محاسبات صورت می گیرد، از دقت بیشتری برخوردار خواهد بود. 3 - حجم اطلاعات لازم به دلیل کم بودن المانها جهت آنالیز مسئله نسبت به روش عناصر محدود، باعث می شود که در روش المانهای مرزی، دستگاه معادلات تشکیل شده کوچکتر باشد. 4 - در روش عناصر مرزی برای هر نقطهء داخلی، مقادیر تابع قابل حصول است . در صورتی که این مقادیر در روش عناصر محدود و روش تفاضلات متناهی در هر کجای دامنه، به راحتی قابل حصول نیست و معمولا" در محلهای مشخصی از دامنه قابل محاسبه است . 5 - با توجه به مطالب ذکر شده، می توان چنین نتیجه گرفت که روش عناصر مرزی در حل معادلهء لاپلاس نسبت به روش عناصر محدود و روش تفاضلات متناهی از مزایای بیشتری برخوردار است . 4.2.2 در این مقاله روش عناصر مرزی را برای حل معادلهء لاپلاس در حالت نامتعارف بکار بردیم . و از سه روش مستقیم، کمترین مربعات و می نیمم سازی انرژی برای حل این دسته از مسائل استفاده کردیم و نتایج زیر را بدست آوردیم. 1 - نتیجه گرفتیم که روشهای مستقیم و کمترین مربعات برای تعداد المانهای کمتر (مقادیر کوچک n) تا خط y=0 جوابهای قابل قبولی را می دهند. اما در نزدیکی خط y=0 (مرز مجهول r) جوابها نوسان می کنند. از طرفی دقت محاسبات با افزایش مقدار n کاهش می یابد. در حالی که روش می نیمم سازی انرژی همیشه همگراست و با افزایش مقدار n دقت محاسبات نیز افزایش می یابد. مثالهای متعدد دیگری را نیز به هر سه روش حل کردیم و به همان نتیجه فوق رسیدیم. 2 - نهایتا" تاکید می کنیم که علیرغم اینکه براحتی از روش عناصر مرزی برای حل مسائل مشتقات جزئی در حالت نامتعارف استفاده کردیم، روشهای عددی دیگر مانند روش عناصر محدود و روش تفاضلات متناهی را بدین سادگی نمی توان در جهت حل مسائل نامتعارف بکار برد.