نرخ رشد گروهها

گروه g ساده است ، اگر و فقط اگر زیر گروه قطری gxg، یک زیر گروه ماکسیمال باشد. این خصوصیت جالب بسیار ساده اثبات می شود و انگیزه ای برای پاسخ به این سوال ایجاد می کند که چگونه می توان همه زیرگروههای ماکسیمال gn را تعیین کرد، در حالی که منظور از gn، حاصلضرب مستقیم n نسخه از g می باشد. هدف اول این پایان نامه پاسخ دادن به این سوال می باشد. بخصوص نشان خواهیم داد که اگر g یک گروه کامل باشد، آنگاه هر زیر گروه ماکسیما gn، تصویر معکوس یک زیر گروه ماکسیمال g2 وابسته به یک نگاشت تصویر چون :gn--->g2 بر روی دو عامل می باشد. اگر g یک گروه متناهی باشد، ما تعداد زیرگروههای ماکسیمال gn را با m(gn) نشان می دهیم. اگر gcp گروه دوری از مرتبه p باشد، آنگاه m(cnp)pn-1/p-1 بنابراین m(cnp) یک تابع نمایی از n می باشد، از این مطلب براحتی نتیجه می شود که اگر g کامل نباشد، آنگاه m(gn) به طور نمایی رشد می کند. بالعکس ، اگر g کامل باشد، این واقعیت که هر زیر گروه ماکسیمال gn حاصل از g2 می باشد متضمن این نکته است که m(gn) یک چند جمله ای درجه دوم بر حسب n می باشد. ما یک فرمول صریح برای m(gn) بدست خواهیم آورد (بر حسب متغیرهایی که تنها به g بستگی دارند). حداقل تعداد مولدهای یک گروه متناهی h که با d(h) نشان می دهیم، قویا وابسته به تعداد زیر گروههای ماکسیمال h می باشد. به طور مثال اگر h تنها یک زیر گروه ماکسیمال داشته باشد، آنگاه h دوری است (مرتبه اش یک عدد اول می باشد) و d(h)1 بنابراین چندان تعجب آور نیست که نتایج فوق مبین این مطلب هستند که d(gn) لگاریتمی رشد می کند و وقتی g کامل نیست d(gn) خطی رفتار می کند. این نتایج اساسا از [w1, w2] wiegold می باشند، ولی [t] thevenaz حلی جدید ارائه داده است که مبتنی بر مطالعه و بررسی زیر گروههای ماکسیمال می باشد. یک روش عمومی برای پیدا کردن زیر گروههای ماکسیمال یک گروه متناهی را aschbacher و [a-s] scott ارائه کرده اند. البته بررسی ما در ارتباط با زیرگروههای ماکسیمال به کار مهم آنها وابسته نیست . یک تصوری که ممکن است وجود داشته باشد، این است که اگر g یک گروه متناهی مولد باشد با بزرگ شدن n، d(gn) نیز به سمت بینهایت می گراید. در فصل سوم با ارائه مثالی که از [h] hirshon است ، نشان می دهیم که این تصور اشتباه است ، مثالی که ارائه خواهیم کرد دارای این خاصیت است که d(gn) برای هر n ثابت و برابر چهار است . در این بررسی نیازمند یک سری تعاریف ، قضایا و مسائل و مفاهیم مقدماتی هستیم که در فصل پیشتازها به آنها خواهیم پرداخت .