حل مسائل مکانیک جامدات با استفاده از توابع پایه هموار به شکل بدون شبکه محلی

در این پایان نامه حل معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت با استفاده از توابع پایه هموار به صورت بدون شبکه محلی مورد بررسی قرار گرفته است. این معادلات دارای کاربرد فراوانی در زمینه حل مسائل مهندسی و علوم پایه می باشند. در این راستا ابتدا یک روش بدون شبکه محلی بر اساس تحقیقات صورت گرفته قبلی بیان شده و با ارائه چند مثال عددی به بررسی ویژگی های آن پرداخته شده است. در این روش به منظور گسسته سازی دامنه حل از یک سری نقاط گره ای در داخل دامنه و روی مرزها استفاده می شود. بررسی های انجام شده نشان می دهد که وجود نامنظمی در شبکه نقاط گره ای باعث کاهش دقت حل و کیفیت نتایج نهایی می گردد که به منظور بهبود این مشکل و فراهم شدن امکان حل مسائل بیشتری با استفاده از روش مذکور یک راهکار ساده ارائه شده است. در این پایان نامه همچنین یک روش محلی بدون شبکه جدید به منظور حل مسائل مختلف توسعه داده شده است. در این روش نیز گسسته سازی دامنه حل به وسیله شبکه ای از نقاط گره ای صورت می گیرد و در هر یک از این نقاط یک ابر شامل تعدادی از نقاط گره ای مجاور در نظر گرفته می شود. پاسخ معادله دیفرانسیل در محدوده هر ابر به صورت مجموع دو بخش همگن و خصوصی نوشته شده و هر یک از این بخش ها به صورت یک ترکیب خطی از یک سری توابع پایه نمایی بیان می شوند. توابع پایه حل همگن به نحوی تعیین می شوند که معادله دیفرانسیل همگن به شکل دقیق در دامنه حل ارضاء شود. به منظور تشکیل معادلات نهایی در روش پیشنهادی علاوه بر نقاط گره ای از یک سری نقاط واسطه نیز در سراسر دامنه و روی مرزها استفاده می شود. این معادلات در داخل دامنه به گونه ای تنظیم می گردد که موجب پیوستگی حل ابرهای مجاور شود که این کار با تشکیل یک عبارت باقیمانده در هر یک از نقاط واسطه انجام می شود. به منظور ارضاء شرایط مرزی نیز از شیوه ای شبیه به نحوه تشکیل معادلات در داخل دامنه حل استفاده شده که از توانایی مناسبی در برآورده ساختن شرایط مرزی برخوردار می باشد. یکی از پارامترهای موثر بر دقت نتایج در روش پیشنهادی توابع پایه مورد استفاده در حل همگن است که این توابع با استفاده از قضایای نمونه برداری انتخاب می شوند. قضایای نمونه برداری حداکثر فرکانس موجود در توابع پایه حل همگن را به مقادیر مشخصی محدود می کنند. روابط مورد استفاده در روش پیشنهادی به منظور حل برخی از مسائل پرکاربرد در زمینه مکانیک جامدات، از جمله معادلات دیفرانسیل هلمهلتز و پواسون و نیز مسائل الاستیسیته و موج الاستیک بر روی دامنه های دو بعدی توسعه داده شده و در هر مورد حل مثال های عددی مختلفی مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج بدست آمده از حل مثال های عددی نشان دهنده توانایی این روش در حل این دسته از مسائل بر روی دامنه هایی با اشکال هندسی مختلف و شرایط مرزی گوناگون است، همچنین این روش نسبت به نامنظمی شبکه نقاط گره ای حساس نمی باشد. توانایی حل مسائل با فرکانس های نسبتاً زیاد و نیز مسائلی که دارای نقاط تکین در نزدیکی دامنه حل می باشند از دیگر ویژگی های روش پیشنهادی به حساب می آید. اگرچه روش ارائه شده در این پایان نامه به منظور حل برخی از مسائل مهم در زمینه مکانیک جامدات مورد استفاده قرار گرفته است، قابلیت توسعه به منظور حل مسائل بسیار بیشتری را دارد.