دنباله های نزدیک شونده به ظرفیت شانون برای کدهای ldpc در کانال های متقارن

کدهای ldpc با کدبردار تکرار تبادل پیام برای اولین بار در پایان نام? دکترای آقای r. g. gallager در دانشگاه m. i. t در سال 1962 معرفی شدند[1]. در روش کدبرداری تکرار پیچیدگی کدبرداری تنها بطور خطی با طول بلوک افزایش می یابد. این کدها برای چندین دهه به فراموشی سپرده شدند، که شاید عمده ترین دلیل آن ضعیف بودن کامپیوتر ها در آن زمان بود. در سال 1995 این کدها توسط mackay و neal دوباره مطرح شدند[2, 3]. کدهای ldpc مانند سایر کدهای خطی بلوکی دارای یک ماتریس بررسی توازن (h) می باشند. ماتریس بررسی توازن برای این کدها باید تنک باشد. یعنی تعداد عناصر غیر صفر ماتریس در مقایسه با صفرها خیلی کم باشد. به ماتریس h یک گراف نسبت داده می شود که در توصیف فرایند کدبرداری مفید است و گراف tanner نام دارد[4, 5]. گراف tanner مربوط به یک ماتریس بررسی توازن از دو نوع گره با نام های بیت-گره و چک-گره تشکیل می شود که به ترتیب نشان دهنده ستون ها و ردیف های ماتریس می باشند. به ازای هر المان 1 در هر سطر و ستون h ، بیت-گره و چک-گره مربوطه توسط یک خط که یال نامیده می شود به هم متصل می شوند. درجه هر چک-گره یا بیت-گره عبارت است از تعداد یال های متصل به آن. اگر دریک گراف تمام بیت-گره ها دارای درجه برابر و تمام چک-گره ها نیز دارای درجه برابر(نه الزاما برابر با یکدیگر) باشند به کد مربوطه منظم و در غیر این صورت به آن کد نامنظم گفته می شود. الگوریتم تبادل پیام با انتقال پیام هایی بین بیت-گره ها و چک-گره ها تحقق می یابد. در بیشتر موارد پیام ها معرف لگاریتم نسبت درستنمایی (llr) بیت ها می باشند. در [6, 7] نشان داده شده است که در طول بلوک بینهایت، عملکرد کد از ماتریس h مستقل است و فقط به نسبت یال های متصل به بیت-گره و چک-گره از هر درجه به تعداد کل یال ها بستگی دارد. نسبت یال های متصل به بیت-گره با درجه به کل یال ها را با و نسبت یال های متصل به چک-گره درجه به کل یال ها را با نشان می دهیم. چنین مجموعه ای از ماتریس ها معرف یک خانواده از کدهای ldpc می باشند که توسط یک زوج توزیع درجات توصیف می گردد. نتایج [6, 7] حاکی از آن است که عملکرد هر عضو از یک خانواده کدهای ldpc به عملکرد میانگین خانواده کدها میل می کند. این نتیجه مهم استفاده از ابزار تجزیه و تحلیل طول بینهایت را به منظور طراحی و تحلیل کدهای ldpc نزدیک شونده به ظرفیت امکان پذیر می سازد. اصلی ترین روش تحلیل طول بینهایت کدهای ldpc روش تکامل چگالی نام دارد که مبتنی دنبال کردن تغییرات تابع چگالی احتمال پیام های مبادله شده در الگوریتم تبادل پیام است. در این روش با فرض ارسال کد تمام یک و با شروع از چگالی اولیه کانال، با تکرار الگوریتم به دنبال کردن چگالی ها می پردازیم. در هر تکرار الگوریتم احتمال خطای چگالی ها را محاسبه می کنیم. بسته به چگالی کانال اولیه که کاملا وابسته به پارامتر کانال است، با ادامه این فرایند دو حالت ممکن است رخ بدهد. یا احتمال خطای چگالی ها به سمت صفر میل می کند یا اینکه حتی پس از تعداد تکرار بینهایت نیز احتمال خطا عددی غیر صفر می شود. می توان نشان داد که برای دسته وسیعی از کانال ها از جمله کانال پاکشدگی ، کانال باینری متقارن و کانال biawgn ، یک مقدار مشخص از پارامتر کانال وجود دارد بگونه ای که برای پارامتر کانال های کمتر از آن، فرایند تکامل چگالی همگرا می شود و در غیر این صورت همگرا نمی شود. این مقدار مرزی برای پارامتر کانال، به عنوان آستانه برای خانواده کد در کانال مربوطه نامگذاری می شود. با کمک روش تکامل چگالی امکان طراحی خانواده کدهای بهینه بوجود می آید. در طراحی کدها برای یک نرخ کد داده شده و یک مجموعه از بیت گره ها و چک گره ها با درجه معین به دنبال تعیین ها و ها هستیم بطوریکه سطح آستانه بیشینه شود. همچنین در طراحی کد برای یک کانال با پارامتر ثابت به دنبال تعیین ها و ها هستیم بطوریکه مقدار نرخ کد بیشینه شود[8]. در هر دوحالت هرچه مقدار بیشینه شده به حد بالای آن که توسط قضیه شانون پیش بینی شده نزدیکتر باشد طراحی انجام شده بهتر است. آقای gallager نشان داد که شرط لازم برای رسیدن به ظرفیت این است که مقدار متوسط تعداد یک ها در هر سطر و ستون ماتریس h به سمت بینهایت میل کند. بنابراین برای رسیدن به ظرفیت باید دنباله ای از خانواده کدها طراحی کرد و نشان داد که حد نرخ و یا آستانه آن ها به ظرفیت شانون نزدیک است. در حالت کلی دنباله درجات را رسنده به ظرفیت گوئیم، هرگاه با میل دادن متوسط تعداد یک ها در هر سطر و ستون ماتریس h ، نرخ کد و یا آستانه آن به ظرفیت شانون میل کند[9-11]. وجود و طراحی چنین دنباله هایی فقط در کانال پاکشدگی توسط آقای شکراللهی نشان داده شده است. طراحی دنباله های رسنده به ظرفیت در سایر کانال های متقارن بی حافظه هنوز به عنوان یک مساله حل نشده باقی است. در این کانال ها دنباله های نزدیک شونده به ظرفیت مطرح هستند. در این دنباله ها که با کمک روش تکامل چگالی طراحی می شوند نشان داده می شود که مقادیر نرخ کد و یا آستانه به صورت عددی به ظرفیت شانون نزدیک می شوند اما نمی توان به صورت ریاضی نشان داد که حد نرخ کد و آستانه برابر با ظرفیت شانون است[6, 12, 13]. در طراحی هر خانواده کد از یک دنباله نزدیک شونده به ظرفیت، همگرایی هر زوج توزیع درجات داده شده باید به وسیله روش تکامل چگالی بررسی شود. از طرفی در هر تکرار از فرایند تکامل چگالی، باید تغییرات تعداد زیادی عدد که معرف چگالی در هر مرحله هستند دنبال شود که از نظر محاسباتی خیلی پیچیده است. به همین دلیل روش های بسیاری به منظور ساده کردن تکامل چگالی معرفی شده اند، که می توان از روش نمودار exit و روش تقریب گوسی نام برد. هدف اصلی تمام این روش ها نسبت دادن یک عدد اسکالر به توابع چگالی است[14, 15]. برای نمودار exit نشان می دهیم که در مورد کانال پاکشدگی نمودار exit دیگر یک تقریب برای تکامل چگالی نیست بلکه کاملا معادل آن می باشد و همان مقدار آستانه که از فرایند تکامل چگالی حاصل شده را می توان با آن هم بدست آورد. بعلاوه برای نمودار exit در کانال پاکشدگی یک قضیه مهم با نام قضیه مساحت اثبات شده است[15]. این قضیه بیان می دارد که سطح محصور بین منحنی های exit چک-گره و معکوس بیت-گره فاصله تا ظرفیت را نشان می دهد. به عبارت دیگر برای دستیابی به کدهای رسنده به ظرفیت در کانال bec تنها کافی است به دنبال توزیع درجاتی باشیم که سطح محصور بین نمودار های مربوط به آن ها به سمت صفر میل می کند. این فرایند برازش منحنی نام دارد که نتایج حاصل از آن با نتایجی که قبلا توسط آقای شکراللهی در طراحی دنباله های رسنده به ظرفیت در کانال bec مطرح شده بود یکسان است. متاسفانه قضیه مساحت برای نمودار exit در مورد دیگر کانال های متقارن بی حافظه برقرار نیست و لذا نمی توان از نمودار exit برای طراحی دنباله های رسنده به ظرفیت در کانال های متقارن بی حافظه استفاده کرد. البته لازم به ذکر است که اگر اصل برازش منحنی را برای نمودار exit در چنین کانال هایی اعمال کنیم ممکن است به کدهایی با عملکرد نزدیک به ظرفیت دست یابیم اما تضمینی وجود ندارد که کدهای طراحی شده بهینه باشند. اخیرا مفهوم جدیدی با نام منحنی gexit معرفی شد که برخلاف منحنی exit قضیه مساحت در آن برای هر کانال متقارن بی حافظه برقرار است[16]. این مفهوم می توانست امکان جدیدی را برای طراحی دنباله های رسنده و یا نزدیک شونده به ظرفیت بوجود آورد اما تابع gexit معرفی شده در [16] منحصر به کدهای منظم است. بعلاوه فرض شده پارامتر کانال در بدترین وضعیت خود قرار دارد. این دو حقیقت استفاده از نمودار gexit به منظور طراحی کدهای با عملکرد بهینه را غیر ممکن می سازد. در این پایان نامه منحنی gexit بیت گره را برای هر پارامتر کانال دلخواه بدست می آوریم. به دنبال آن یک فرمول بسته برای تابع gexit در کانال باینری متقارن ارائه می کنیم و در مورد کانال biawgn یک فرمول بسته برای نقطه شروع منحنی اثبات می کنیم. سپس تابع gexit را برای کدهای نامنظم بدست می آوریم و نشان می دهیم این رابطه همانند رابطه موجود برای منحنی های exit می باشد[17]. لازم به ذکر است در [16] شرط قضیه مساحت به برازش منحنی gexit چک-گره و معکوس منحنی دوگان gexit بیت-گره ترجمه می شود. بررسی های ما نشان می دهد بدست آوردن تابع gexit دوگان بیت-گره برای هر پارامتر کانال دلخواه پیچیده می باشد. بنابراین در این پایان نامه پیشنهاد کرده ایم که برای طراحی کد، برازش برای منحنی های معکوس بیت گره و دوگان چک گره انجام شود. ثابت می کنیم که قضیه مساحت در این حالت نیز برقرار است. نتایج بالا طراحی کدهای نزدیک شونده به ظرفیت را با کمک تابع gexit امکان پذیر می سازد. نشان می دهیم که در این حالت مساله طراحی کد به یک مساله بهینه سازی برنامه ریزی خطی تبدیل می شود.