توسیع روشهای خطی عمومی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی

اکثر پدیده های فیزیکی مانند انتقال خون در رگ، رفتار مدارهای الکتریکی در ماشین آلات یا حرکت ستاره ها در کهکشان ها را می توان از طریق مدل های ریاضی شان درک کرد. این مدل ها اغلب شامل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی ‎(odes)‎ هستند که زمان را به عنوان متغیر مستقل و متغیرهای فیزیکی را به عنوان متغیرهای غیر مستقل دارند. ‎par‎ حال فرض کنید که یک سیستم فیزیکی با استفاده از دستگاه معادلات دیفرانسیل مدل بندی شده است. بسته به این سیستم فیزیکی که مدل بندی شده است، دستگاه ‎odes‎ نتیجه شده به یکی از دو شکل زیر بیان می شود: ‎egin{itemize}‎ ‎item‎ دستگاه غیر خودگردان ‎egin{equation*}‎ ‎y(x)=f(x,y(x))‎, ‎end{equation*}‎ ‎item‎ دستگاه خودگردان ‎egin{equation*}‎ ‎y(x)=f(y(x))‎, ‎end{equation*}‎ ‎end{itemize}‎ که ‎$y:mathbb{r} ightarrowmathbb{r}^m$‎ یک تابع برداری مقدار، ‎$f:mathbb{r} imesmathbb{r}^m ightarrowmathbb{r}^m$ (در حالت غیر خودگردان)، ‎$f:mathbb{r}^m ightarrowmathbb{r}^m$‎ (در حالت خودگردان)، و ‎$m$‎ بُعد دستگاه است. در سیستم های فیزیکی، متغیر مستقل ‎$x$‎ اغلب به عنوان زمان و ‎$y(x)$‎ جواب در ‎$x$‎ را نشان می دهند. واضح است که با در نظر گرفتن ‎$x$‎ به عنوان یک مولفه ی دیگری برای بردار ‎$y$‎، دستگاه های به شکل غیر خودگردان نیز تبدیل به دستگاه های خودگردان خواهند شد. بنابراین در این رساله هم همانند اکثر متون ‎odes‎ فقط معادلات دیفرانسیل در شکل خودگردان در نظر گرفته خواهد شد. ‎par‎ در کل به دست آوردن یک جواب تحلیلی برای این دستگاه ها، اگر هم غیر ممکن نباشد، خیلی مشکل است. از اینرو روش های عددی که جواب های تقریبی برای جواب این دستگاه ها به دست می آورند از اهمیت فوق العاده ویژه ای برخوردارند. اما بطور کلی، دنیای ‎odes‎ به دو نوع دستگاه های سخت‎footnote{stiff}‎ و غیرسخت‎footnote{non-stiff}‎ تقسیم می شود. تعریف مسائل سخت و پدیده ی سختی‎footnote{stiffness}‎ بطور ریاضی خیلی مشکل است. با وجود این، توصیفاتی برای این نوع دستگاه ها را می توان از نوشته های بزرگان این شاخه از علم پیدا کرد. شَمپِین‎footnote{shampine}‎ و براچ‎footnote{burrage}‎ بیان کردند که معادلات سخت مسائلی با ‎$l(overline{x}-x_0)$‎ بزرگ هستند که در آن ‎$l$‎ ثابت لیپشیتز معادله دیفرانسیل و ‎$[x_0,overline{x}]$‎ بازه ی انتگرال گیری است. بوچر‎footnote{butcher}‎ اشاره کرد که دستگاه هایی که در آن جواب ها شامل مولفه ی بشدت میرا هستند، دستگاه سخت هستند. او اضافه کرد که این مسائل در آنالیز عددی خیلی مهم هستند چراکه آنها اغلب در عمل ظاهر می شوند و حلِ آنها با روش های عددی متعارف مشکل است. لمبرت‎footnote{lambert}‎ اشاره کرد که سختی زمانی رخ می دهد که نیاز پایداری بجای نیاز دقت طول گام را محدود کند، و اینکه سختی زمانی رخ می دهد که مولفه هایی از جواب خیلی سریع تر از بقیه میرا شوند. سپس، او تعریفی طرح کرد که به چیزی که در عمل مشاهده می کنیم نزدیک تر است: اگر یک روش با ناحیه ی پایداری متناهی روی یک دستگاه با هر شرط اولیه ای اعمال شود و در یک بازه ی انتگرالگیری مشخص مجبور به استفاده از طول گام بیش از حد کوچک در رابطه با همواری جواب دقیق در آن بازه شویم، دستگاه در آن بازه سخت گفته می شود. ایزرلِس‎footnote{iserles}‎ بیان کرد که یک دستگاه ‎ode‎ سخت است اگر جواب عددی آن با برخی روش های عددی برای دوری از ناپایداری، نیاز به کوچک بودن قابل توجهی از طول گام داشته باشد. برای این منظور، متخصصین آنالیز عددی در این شاخه بدنبال معرفی روش هایی برای حل این نوع دستگاه ها بودند که دارای ناحیه ی پایداری وسیع تری باشند. شروعِ این تحقیقات می توانست در دو مسیرِ روش های تک گامی و روش های چندگامی خطی باشد. اما مانع دوم دالکوئیست‎footnote{dahlquist}‎ که بیان می کند: ‎«‎مرتبه ی یک روش چندگامی خطی ‎$a$--‎پایدار نمی تواند از دو تجاوز کند»، مسیر تحقیقات برای معرفی این چنین روش ها را مشخص نمود. ‎par‎ در سال ‎1966‎، بوچر روش های خطی عمومی‎footnote{general linear methods} (glms)‎ را به عنوان یک قالب واحد برای مطالعه ی خواص سازگاری، پایداری، و همگرایی روش های متعارف (روش های تک گامی، چندگامی خطی، ترکیبی‎footnote{hybrid}،‎ پیشگو--اصلاحگر، تطبیقی‎footnote{adaptive}،‎ شامل نقاط جلوتر، شامل نقاط غیرگامی‎footnote{off-step points}‎ و .‎..)‎ و فرمول بندی روش های جدید معرفی کردند. اما تحقیقات برای معرفی روش هایی با ناحیه ی پایداری وسیع تر و گریز از مانع دالکوئیست در مسیر استفاده از مشتقات بالاتر جواب در روش مانند روش های اُبرِشکُف‎footnote{obreshkov} (از جمله روش های مشتق دوم) و تعمیم شان به روش های نقاط جلوتر و غیرگامی نیز ادامه پیدا کرد که این روش ها را نمی توان در قالب روش های خطی عمومی نوشت. از اینرو بوچر و حجتی در سال ‎2005‎ روش های خطی عمومی با مشتق دوم‎footnote{second derivative general linear methods} (sglms)‎ را معرفی کردند. ‎par‎ در این رساله ضمن مطالعه ی ساختار و ویژگی های ‎lr{,glms}‎ به شرایط همگرایی ‎sglms‎ خواهیم پرداخت و روش هایی از این خانواده که متناسب با دستگاه های سخت باشند، معرفی خواهیم کرد. همچنین مرتبه ی ماکزیمال برای انواع ‎sglms‎ که ماتریس پایداری شان مقادیر ویژه ی زائد ندارد (یعنی تنها یک مقدار ویژه ی ماتریس پایداری غیر صفر است که به این ویژگی، خاصیت پایداری رانگ--کوتا‎footnote{runge--kutta stability}‎ یا به اختصار ‎rks‎ گفته می شود) را با روش های مختلف به دست خواهیم آورد. ‎par‎ در فصل ‎1‎ روش های عددی متعارف برای حل مسائل مقدار اولیه را مرور کرده و سپس به مطالعه ی روش های خطی عمومی می پردازیم و در ادامه به خواص دستگاه های سخت اشاره می کنیم. در فصل ‎2‎ ضمن بیان ساختار ‎lr{,sglms}‎ شرایط پیش-- سازگاری، سازگاری، و صفر--پایداری را معرفی کرده و ثابت می کنیم که سازگاری و صفر--پایداری معادل با همگرایی این روش ها هستند. در فصل ‎3‎ ضمن تقسیم بندی ‎sglms‎ به چهار نوع و معرفی یک زیرکلاس خاص از این دسته روش ها به نام ‎lr{,footnote{second derivative diagonally implicit multistage integration methods}sdimsims}‎ مرتبه ی ماکزیمال برای انواع موازی این روش ها با داشتن خاصیت ‎rks‎ را یافته و روش هایی از این خانواده تا بالاترین مرتبه ی ممکن می سازیم و این فصل را با نتایج عددی برای نشان دادن کارایی روش های ساخته شده به پایان می بریم. مطالعه روی ‎sglms‎ در فصل ‎4‎ ادامه پیدا می کند و بالاترین مرتبه ی ممکن برای روش های متوالی تحت خاصیت ‎rks‎ را به دست آورده و روش هایی از مرتبه ی ‎3‎ و ‎4‎ می سازیم. در انتهای فصل، کارایی روش های ساخته شده را با مثال های عددی نشان می دهیم. فصل ‎5‎ را با مطالعه ی ستاره های مرتبه دار‎footnote{order stars}‎ و مسیرهای مرتبه دار‎footnote{order arrows}‎ شروع کرده و در ادامه ی این فصل موانع مرتبه که در فصل های ‎3‎ و ‎4‎ به دست آمدند را با استفاده از مسیر های مرتبه دار به دست می آوریم. در نهایت مسیرهایی برای تحقیقات بعدی در این زمینه معرفی خواهیم کرد.