روش های عددی تقریب جواب معادله های دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار و کاربرد آن در مالی

در بازارهای مالی و اقتصاد دینامیک‏های دارایی پایه اغلب با معادلات دیفرانسیل تصادفی از نوع پرش-انتشار مشخص می‏شوند. این معادلات علاوه بر جمله انتشار دارای جمله‏ی پرش نیز هستند که این جمله‏ی پرش بستگی به نوع بازار دارد. از آنجا که کلاس معادلات دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار معمولا جواب تحلیلی ندارند، نیازمند استفاده از تقریب‏‏های عددی هستیم. تقریب‏های عددی برای جواب معادلات دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار به دو گروه تقریب های قوی و ضعیف تقسیم می‏شوند. روشهای قوی تقریب‏هایی وابسته به مسیر ارایه می‏کنند و بنابراین می‏توانند در مسایلی مانند فیلترینگ، تحلیل سناریو، و شبیه‏سازی پوشش به کار بروند. روشهای ضعیف ، تقریب‏هایی از اندازه احتمال جواب واقعی فراهم می‏کنند و برای مسایلی مانند قیمت‏گذاری مشتقات یا ارزیابی اندازه‏های ریسک و بازده مورد انتظار مناسبند. در این پایان‏‏نامه مدل پرش-انتشاری را در نظر می‏گیریم که پرش آن از نوع فرایند پواسون است. فرایند پواسون، فرایندی تکه‏ای ثابت با نموهای مستقل است که می‏تواند وقایع را بشمارد و براحتی برای مدل کردن وقایع ناشی از عدم اطمینان به کار می‏رود. سپس در نظر داریم روشهای عددی قوی و ضعیف برای تقریب جواب معادلات دیفرانسیل تصادفی پرش-انتشار را ارایه کنیم. برای ارایه روشهای کاراتر و با پایداری بهتر روشهای ضمنی، بدون مشتق، و پیشگو-اصلاحگر را نیز معرفی می‏کنیم. از آنجا که ایجاد روشهای کاراتر از مراتب بالا با هزینه‏های محاسباتی همراه است لذا روشهای پرش سازواریافته را معرفی می‏کنیم.