چندجمله ای ها در نظریه گره

پس از معرفی مختصری از نظریه گره در فصل اول، در فصل دوم ساده ترین و در عین حال پایه ای ترین چندجمله ای در مبحث گره ها یعنی چندجمله ای براکت کافمن را معرفی خواهیم کرد. در ادامه به روشی برای محاسبه این چندجمله ای اشاره می کنیم که به طرز چشمگیری خطای محاسبه را کاهش می دهد. در فصل سوم به چندجمله ای جونز خواهیم پرداخت. این چندجمله ای با پاسخ به مسائلی که تا مدت ها بدون پاسخ مانده بودند به مانند انقلابی در نظریه گره بوده و تا امروز نیز نقش بسیار مهمی در نظریه گره ایفا می کند. در فصل چهارم قدیمی ترین چندجمله ای در نظریه گره یعنی چندجمله ای الکساندر را معرفی می کنیم. این چندجمله ای که دارای پیشینه ای جبری می باشد به خوبی در قالب مفاهیم همولوژی بیان و درک شده و کاربردهای بسیاری در زمینه های علمی مختلف دارد. همچنین چندجمله ای الکساندر دسته ای خاص از گره ها به طور عمده مورد بررسی قرار گرفته اند؛ این گره ها برای تبدیل شدن به گره های ‎$ 10_{132} $‎ و ‎(5,2)-‎چنبره یا ‎$ 5_1 $‎ به تنها یک تغییر تلاقی نیاز دارند. در فصل پنجم و ششم به دو تعمیم دو متغیره از چندجمله ای جونز یعنی چندجمله ای های هامفلی و کافمن خواهیم پرداخت. علاوه بر این برهان وجود این چندجمله ای ها ذکر شده است. نحوه استتار چندجمله ای های جونز و الکساندر در چندجمله ای های هامفلی و کافمن نیز بیان گردیده است. نهایتاً در فصل هفتم علاوه بر معرفی جنبه های قابل بررسی دیگر در مورد چندجمله ای های گرهی، اشاره ای کوتاه به دیگر چندجمله ای های ناوردا و دارای اهمیت در نظریه گره خواهیم کرد که مجال پرداختن به همه آن ها در این پایان نامه نبوده است.