رده بندی توسیع های مینیمال حلقه های تعویض پذیر

تمامی حلقه ها در این نوشتار تعویض پذیر و یکانی هستند و 0 ? 1. هم چنین تمامی زیرحلقه ها، توسیع حلقه ها‏، همریختی ها و مدول ها نیز یکانی می باشند. توسیع حلقه ای از حلقه های تعویض پذیر را یک توسیع مینیمال می نامیم ( را توسیع مینیمال می نامیم)، هرگاه بین ‎‎ و ‎هیچ حلقه ی دیگری یافت نشود. توسیع مینیمال را می توان به دو دسته تقسیم نمود. یک توسیع مینیمال را بسته می نامیم اگر در بسته ی صحیح باشد. در غیر این صورت روی ‎‎ صحیح می باشد، که این توسیع را توسیع صحیح مینیمال می نامیم. ثابت می کنیم که توسیع مینیمال بسته است، اگر و تنها اگر ایدال ماکسیمال از وجود داشته باشد که زوج یک جفت ارزیاب با رتبه ی 1 برای باشد. همچنین نشان خواهیم داد که برای توسیع حلقه ای و ، توسیع یک توسیع مینیمال بسته است‏، اگر وتنها اگر برای هر عضوهای وجود داشته باشد که . نشان خواهیم داد که اگر یک توسیع حلقه ای و یک ایدال ماکسیمال از باشد، در این صورت موارد زیر با هم معادل اند: ) 1 (یک توسیع مینیمال بسته از است؛ (2) یک جفت ارزیاب است؛ ‎ (3) یک جفت ارزیاب با مرتبه ی 1 از است.‎