مساله ی ‎$‎l(2,1)‎$‎‏ - برچسب گذاری گراف های کیلی مکعبی بر روی گروه های دو وجهی

‏ یک‎$l(2‎ , ‎1)$ ‎ -برچسب گذاری از گراف ‎$g$‎، یک تابع ‎$f$‎ از مجموعه رأس ها ‎$(v(g))$‎ به مجموعه همه اعداد صحیح غیر منفی است به طوری که ‎$|f(x)‎ - ‎f(y)| geq 2$‎ اگر ‎$d(x‎ , ‎y) = 1$‎ و ‎$|f(x)‎ - ‎f(y)| geq 1$‎ اگر ‎$d(x‎ , ‎y) = 2$‎، که ‎$d(x,y)$‎ نشان دهنده فاصله بین ‎$x$‎ و ‎$y$‎ در ‎$g$‎ هست.‎ یک ‎$‎k‎$‎ - ‎$l(2‎ , ‎1)$‎ - برچسب گذاری از گراف ‎$g$‎، یک نگاشت ‎$f:v(g) longrightarrow lbrace 0,1,2,...,k brace$‎ است به طوری که برای هر دو رأس مجاور و ‎متمایز‎ ‎$‎u‎$‎‎‎‏ و‏ ‎$‎v‎$‎‏ از ‎$‎g‎$‎‎‏‏، ‎‎‎$|f(u)‎ - ‎f(v)| geq 2$‎‎‏ و اگر فاصله دو رأس متمایز ‎$‎u‎$‎‏ و ‎$‎v‎$‎‏ دقیقاً ‎$‎2‎$‎‏ باشد آن گاه ‎‎‎$|f(u)‎ - ‎f(v)| geq ‎1$‎‎‎‎‏. ‎کوچکترین عدد صحیح مثبت ‎$‎k‎$‎‏‏ به طوری که ‎$‎g‎$‎‏ یک ‎$‎k‎$‎‏- ‎$‎l(2,1)‎$‎‏- برچسب گذاری را بپذیرد‏، ‎$‎lambda‎$‎- عدد ‎$‎g‎$‎‏ نامیده می شود. در این پایان نامه ‎$‎lambda‎$‎- عدد را برای گراف کیلی مکعبی (به غیر از گراف منشور) بر روی گروه های دو وجهی مطالعه می کنیم‏، که حاصل ضرب بریک گراف ها یا گراف های حلقوی لانه زنبوری نامیده می شود. ‎‏همچنین ‎$‎lambda‎$‎ - عدد برخی از گراف های خاص را مطالعه می کنیم. برخی کران های بالا و پایین را برای این پارامتر بررسی می کنیم. به‎ خصوص گراف مسطح بیرونی‏، ‎$‎lambda‎$‎ - عدد و کران های آن را در نظر می گیریم.