روش های مبتنی بر فضای هیلبرت هسته بازتولید در حل معادلات با مشتقات جزیی

در این رساله به بررسی روش های مبتنی بر فضای هیلبرت هسته بازتولید در حل معادلات با مشتقات جزیی می پردازیم. این روش ها به دو دسته نمادین و عددی تقسیم می گردند. در روش های نمادین، تابع جواب به شکل یک سری در فضای هیلبرت هسته بازتولید نمایش داده می شود. در این روش ها‏، یا توابع پایه متعامد یکه را توسط فرایند متعامدسازی گرام-اشمیت تولید و به عنوان توابع آزمون در تقریب تابع جواب مورد استفاده قرار می دهیم و یا فرایند متعامدسازی گرام-اشمیت را حذف و به جای آن حل دستگاه معادلات نرمال بر مبنای نظریه بهترین تقریب در فضاهای هیلبرت را جایگزین می کنیم. چگونگی پیاده سازی هر دو ایده را با استفاده از حل معادله موج بلند منظم تعمیم یافته، معادلات مشتقاتی-تفاضلی غیرخطی، مسائل وارون سهموی با شرایط مرزی غیرموضعی، رده ای از دستگا‏ه معادلات با مشتقات جز‏یی غیرخطی و معادله شرودینگر یک بعدی به تفصیل بررسی خواهیم نمود. در روش های عددی، ‏توابع پایه نیو‏تن در فضای هیلبرت هسته بازتولید را به عنوان توابع آزمون در نظر گرفته و تابع جواب را در راستای متغیر مکان با استفاده از توابع آزمون به دو روش هم مکانی و گالرکین تقریب می زنیم. سپس با استفاده از روش خطوط، به دستگاهی از معادلات با مشتقات معمولی بر حسب تابع جواب در راستای متغیر زمان دست می یابیم. هر دو روش هم مکانی و گالرکین توام با روش خطوط را با استفاده از حل دستگاه دوبعدی واکنش-انتشار براسلیتور و زوج معادلات دوبعدی غیرخطی برگرز به تفصیل بررسی خواهیم نمود.