تعداد سیکل های حدی یک خانواده از سیستم های لیینارد

تاریخ علم زمانی آغاز شد که بشر در صدد آن بود که علت پدیده های طبیعی را تشریح کند تا بتواند رخدادهای آتی جهان طبیعت را پیش بینی و به دلخواه خود در آن ها تأثیر بگذارد. بدون شک ریاضیات زبان علمی بیان و تفسیر پدیده هاست. پدیده های طبیعی و فیزیکی مانند حرکت آونگ، حرکت سیارات، جریان در مدل های الکتریکی، اتلاف حرارت در اشیاء صلب، پراکنش و ردیابی امواج زلزله ای، تغییر جمعیت موجودات زنده و هم چنین مسائل علوم مهندسی همگی به عنوان یک سیستم وابسته به زمان هستند. وابستگی این پدیده ها به زمان باعث پویایی و خاصیت دینامیکی آن ها می شود، لذا تغییرات این رخدادها به تغییرات زمان وابسته است. به زبان ریاضیات، این رخدادها معادله ها هستند و نرخ تغییرات، همان مشتقات اند. معادله های شامل توابع و مشتقات آن ها، معادلات دیفرانسیل هستند. پس برای رسیدن به تابعی که این رخدادها را تفسیر می کند، مجبور به حل معادلات دیفرانسیل هستیم. گرایش معادلات دیفرانسیل از معادلات نیوتن (1727-1642م) و لایب نیتز 1716-1646م) در زمینه ی حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم میلادی نشأت گرفته است. اگر چه کارهای نیوتن در زمینه ی معادلات دیفرانسیل نسبتاً کم بوده است، اما با بسط حساب دیفرانسیل و انتگرال و توضیح اصول مکانیک، پایه ای برای معادلات دیفرانسیل در قرن هجدهم مخصوصاً توسط اویلر‎ { }‎فراهم کرد. لایب نیتز مستقل از نیوتن، اگر چه کمی پس از او، به نتایج بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال رسید، اما اولین کسی بود که آن ها را، در سال ‎1648‎ میلادی منتشر کرد. هم چنین برادران برنولی‎،‎ ژاکوب 1705-1645م) و یوهان1748-1667م)،‎ کارهای بسیاری برای بسط روش های حل معادلات دیفرانسیل و دامنه ی کاربرد آن ها انجام دادند. این دو برادر با صورت بندی بسیاری از مسأله های مکانیک به صورت معادلات دیفرانسیل توانستند آن ها را با کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال حل کنند. دانیل}‎برنولی ‎(1782-1700م)‎ پسر یوهان، به معادلات دیفرانسیل جزئی و کاربردهای آن علاقه مند بود و معادله ی برنولی در مکانیک سیالات به او منسوب است. هم چنین او اولین کسی بود که به توابعی که یک قرن بعد به توابع بسل‎معروف شدند برخورد. اویلر ( ‎1738-1707م)‎ بزرگترین ریاضی دان قرن هجدهم میلادی، شرط کامل بودن معادلات دیفرانسیل مرتبه ی اول را معین کرد و نظریه ی عامل انتگرال ساز را بسط داد و جواب عمومی معادلات خطی و ضرائب ثابت را در سال ‎1743‎ میلادی ارائه کرد و نتایج اخیر را در سال ‎1751‎ میلادی به معادلات غیرهمگن بسط داد. لاگرانژ (1813-1736م)‎ ثابت کرد که جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی و همگن مرتبه nترکیبی خطی از nجواب مستقل خطی است. لاپلاس ‎ (1827-1749م)‎ در زمینه ی مکانیک سماوی سرآمد بود و عظیم ترین کار وی، رساله ی مکانیک سماوی، در پنج جلد بین سال های ‎1779‎ تا ‎1825‎ میلادی منتشر شد. معادله ی لاپلاس، معادله ی بنیادی بسیاری از شاخه های ریاضی فیزیک است و لاپلاس آن را در ارتباط با نیروی جاذبه به طور مفصل مطالعه کرد. تبدیل لاپلاس نیز به او منسوب است با آن که مفید بودن آن در حل معادلات دیفرانسیل تا مدت ها بعد مشخص نبود. تا پایان قرن هجدهم میلادی، روش های مقدماتی متعددی برای حل معادلات دیفرانسیل کشف شده بود. در قرن نوزدهم میلادی، ریاضی دانان بیشتر به تحقیق در مورد سوال های نظری وجود و یکتایی و بسط روش های پیشرفته تر مانند استفاده از سری های توانی علاقه مند بودند، اما فراوانی معادله های دیفرانسیلی که با روش های تحلیلی حل نشدند، منجر به بررسی روش های تقریب عددی شد. تا سال ‎1900‎ میلادی، روش های کارآمدی برای انتگرال گیری عددی ابداع شده بودند، اما پیاده سازی آن ها به علت نیاز به محاسبات مفصل با دست و یا ابزارهای محاسباتی ابتدایی به شدت با محدودیت مواجه بود. در شصت سال گذشته، توسعه ی رایانه های قدرتمند و همه کاره، دامنه ی مسائلی را که به طور موثر با روش های عددی بررسی می شوند وسعت داد. اما در روش های عددی دو محدودیت عمده موجود است. اول اینکه در این روش ها دو نوع خطا معرفی می شود: ‎1)‎خطای گرد کردن حاصل از محدودیت های محاسباتی کامپیوتر، ‎2)‎خطای برشی حاصل از روش محاسبه حال اگر دینامیک معادله ی دیفرانسیل پایدار باشد، این نوع خطاها از لحاظ کیفی بر نتیجه تأثیر نخواهد داشت. اما وقتی معادله دارای دینامیکی ناپایدار باشد، خطاهای ذکر شده به طور چشمگیر افزایش می یابد به طوری که مسیر پیش بینی شده دور از جواب واقعی به دست می آید. دوم اینکه حتی وقتی که دینامیک معادله پایدار باشد، روش های عددی وقتی مفید است که ما به دنبال یک مسیر خاص جواب باشیم، اما وقتی که ما علاقه مند به بررسی دینامیک سراسری معادله هستیم، روش های عددی ناکارآمد هستند و اینجاست که اهمیت ویژه ی نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل آشکار می شود. در اواخر قرن نوزدهم میلادی، لیوویل }‎ به بررسی کیفی معادلات دیفرانسیل پرداخت که منجر به نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل عادی شد. اساس این نظریه آن است که به جای یافتن جواب، ویژگی های کیفی و مجانبی آن را به طور مستقیم از روی معادله بررسی و تعیین کنیم و هدف آن توصیف ساختار هندسی جواب های معادلات دیفرانسیل است. به ویژه، نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل عادی برای دستگاه معادلات مسطح بسیار توسعه یافته است. در نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل، برای بررسی کیفی جواب ها باید تعداد و موقعیت نقاط تعادل و سیکل های حدی مشخص باشد. مسأله ی یافتن نقاط تعادل به حل یک دستگاه معادلات جبری کاهش می یابد، ولی مسأله ی یافتن تعداد و موقعیت سیکل های حدی بسیار پیچیده و مشکل است. در این نظریه، تحقیق بر روی یافتن تعداد سیکل های حدی بسیار جذاب اما دشوار است. ‎section{‎ سیکل های حدی و مسأله ی شانزدهم هیلبرت‎:}‎ معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه ها مربوط به رشته های مختلف علمی به خصوص در ارتباط بین ریاضیات و بسیاری از شاخه های دیگر علم ظاهر می شود. به عبارت دیگر، در بسیاری از شاخه های علوم مانند زیست شناسی، شیمی، مکانیک، مکانیک سیالات، اخترفیزیک، الکترونیک، اقتصاد، ریاضیات مالی و غیره اغلب با خانواده ای از معادلات دیفرانسیل مسطح سروکار داریم که به طور غیرمستقیم پدیده های طبیعی مورد نظر را به عنوان یک مدل ریاضی ساده شده توصیف می کنند. این معادلات را می توان از جهات گوناگونی مورد مطالعه قرار داد به طوری که مطالعه ی این معادلات از دیدگاه کیفی ( دینامیکی) از بسیاری جهات در اولویت قرار دارد. اما متأسفانه مطالعه ی کامل دستگاه های دینامیکی غیرخطی حاصل از این معادلات بسیار پیچیده است، زیرا یک روش کلی برای مطالعه ی آن ها و به خصوص سیکل های حدی و انشعابات آن ها وجود ندارد و معمولاً این مطالعه به صورت ابتکاری برای هر سیستم خاص انجام می شود. یادآوری می کنیم که سیل حدی یک منحنی بسته ی ایزوله است، به این معنی که مسیرهای شروع شده در همسایگی های آن منحنی های بسته نیستند و به صورت مارپیچ یا به سیکل حدی نزدیک یا از آن دور می شوند. سیکل های حدی پایدار که تمامی مدار‎های شروع شده در همسایگی شان را جذب می کنند، سیستم هایی را مدل می کنند که حتی در غیاب نیروهای تناوبی خارجی نوسان می کنند. به عنوان مثال، ضربان قلب و یا ارتعاشات خودبرانگیز و خودجوش در پل ها و بال های هواپیما از این جمله هستند که تحت ‎اختلال های کوچک به حالت استاندارد اولیه ی خود برمی گردند. سیکل های حدی به طور ذاتی پدیده ای غیرخطی هستند و در سیستم های خطی اتفاق نمی افتند. سیکل های حدی هم چنین در سیستم های لیینارد که یک کلاس بزرگ و مهم از سیستم های دینامیکی غیرخطی در علوم فیزیک و غیره هستند ظاهر می شوند و نقشی کلیدی در رفتار دینامیکی سیستم ها بازی می کنند. بنابراین تعداد سیکل های حدی، نحوه ی توزیع و انشعابات آن ها در بسیاری از کاربردها حائز اهمیت است. مطالعه ی سیکل های حدی یکی از زمینه های اولیه ی پژوهش در نظریه ی سیستم های دینامیکی بوده است. برای اولین بار، پوانکاره در سال های ‎(1886-1881)‎ میلادی در چهار مقاله که درباره ی منحنی های انتگرالی معادلات دیفرانسیل بود، سیکل حدی را کشف کرد و پس از آن ریاضی دانان بسیاری درباره ی سیکل های حدی مسائل مختلفی را بیان کردند. سیستم های لیینارد در مدل های ریاضی بسیار مهم هستند. در این پایان نامه ، سیستم های لیینارد از درجه دلخواه روی صفحه را بررسی می کنیم و یک روش جدید برای پایین ترین کران از بیشترین تعداد سیکل های حدی به دست خواهیم آورد.در نیمه ی اول قرن گذشته مدل هایی که براساس سیستم لیینارد بودند، به علت پیشرفت رادیو و تکنولوژی لوله های خلاء، بسیار مورد توجه قرار داشتند. امروزه این سیستم به طور گسترده برای توصیف فرآیندهای نوسانی در شاخه های مختلف مدل های ریاضی - فیزیک، زیست، شیمی، فیزیولوژی، اقتصاد و خیلی از پدیده های دیگر به کار می رود. هدف از ارائه ی این پایان نامه به دست آوردن تعداد سیکل های حدی سیستم لیینارد است. یک سیستم لیینارد به صورت زیر است: ‎egin{equation}‎ ‎dot{x} = y‎ , ‎,,,‎, ‎dot{y} =‎ ‎-g(x)-‎ ‎f(x) y‎, ‎end{equation}‎ که x))g‎ و ‎f(x) ‎ چندجمله ای هایی برحسب x به ترتیب از درجه ی ‎m‎ و ‎n‎ هستند. فرض کنیم h(n,m) ‎ نشان دهنده ی حداکثر تعداد سیکل های حدی است. لذا پایین ترین کران برای ‎ h(n,m) ‎ را به دست خواهیم آورد و تخمین هایی برای ‎ h(n,m) ‎ با ‎ m ثابت، ‎ h(m,m) و‎ h(m+r,m) ‎و h(m-r,m) بیان خواهیم کرد. در پایان، x))g‎ را یک چندجمله ای مشخص در نظر می گیریم و به کمک توابع ملنیکف و روش های انشعاب هاپف، هموکلینیک و هتروکلینیک، پایین ترین کران برای ‎‎ h(n,m) ‎ برای برخی از مقادیر ثابت ‎ m ‎ و n را به دست خواهیم آورد. برای این کار مساله شانزدهم هیلبرت را بیان می کنیم و ارتباط آن با تعداد سیکل های حدی را توصیف می کنیم. کلمات کلیدی: {سیکل حدی، سیستم چندجمله ای لیینارد، انشعاب سراسری، حلقه ی هموکلینیک، حلقه ی هتروکلینیک، تابع ملنیکف‎.}