این پایان نامه شامل پنج فصل است که هر فصل به یک یا چند بخش تقسیم شده است.فصل اول مفاهیم اولیه بیان می شود.فصل دوم زیر مجموعه های پایا ازlpg مورد بررسی قرار می گیرد. این فصل شامل تعدادی کاربرد برای مضروب ها از lpg به lqg است. فصل سوم به بررسی نگاشت های آفین پیوسته از زیر مجموعه محدب بسته aاز lpg به زیر مجموعه محدب بسته bازlqg پرداخته شده است. هدف اصلی فصل چهارم بسط نتایج فصل دوم در رابطه با گروه ها به ابر گروه هاست.در حقیقت بررسی نتایج کلاسیک درباره مضروب ها روی فضاهای lp از گروه های فشردهی موضعی به نتایجی درباره ی مضروب ها روی فضاهای lp از ابرگروه ها بسط داده شده است.در فصل پنجم به بررسی خاصیت میانگین پذیری از ابرگروه ها پرداخته شده است. ما میانگین پذیری روی ابرگروه ها را با یک خاصیت ارگودیک مشخص می کنیم.