فرمول بندی مسائل در بسیاری از شاخه های علوم، به ویژه علوم مهندسی، به معادلات دیفرانسیل منتهی می شود؛ بدین جهت حل سریع تر و دقیق تر این معادلات از موضوعات مهمی است که زیربنای بسیاری از تحقیقات را تشکیل می دهد. از آنجا که حل معادلات دیفرانسیل و به خصوص معادلات دیفرانسیل مشتقات پاره ای بسیار وابسته به شکل دامنه حل و شرایط مرزی است، حل دقیق اکثر مسائل مهندسی غیر ممکن و یا بسیار پیچیده بوده و استفاده از روش های عددی برای حل تقریبی آنها اجتناب ناپذیر است. روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل هر کدام نگرشی خاص به این معادلات و حل آنها دارند. این شیوه نگرش باعث ایجاد تفاوت هایی در آنها می شود که کاربرد آنها را در حوزه ای از مسائل بر روش های دیگر برتری می بخشد. در این تحقیق سعی شده است از دیدگاهی متفاوت به حل معادلات دیفرانسیل نگریسته شود. مبنای این نگرش، استفاده از یک ترکیب خطی از پایه هایی است که معادله دیفرانسیل را بدون توجه به شرایط مرزی آن برآورده می نمایند. ضرائب این پایه ها با استفاده از روشی که در این تحقیق توسعه داده شده است، به نحوی بدست می آید که شرایط مرزی نیز به صورت تقریبی برآورده شود. این نگرش می تواند کاربردهای زیادی در حل معادلات دیفرانسیل پاره ای خطی و به ویژه مسائل مطرح در مکانیک جامدات داشته باشد و امکان حل ساده تر و یا دقیق تر دسته ای از مسائل را فراهم سازد که با سایر روش های عددی موجود به سهولت امکان پذیر نیست. در این تحقیق نگرش پیشنهادی به روش های مختلف برای حل مسائل گوناگون به کار رفته که در هریک از آنها دو شکل نیمه تحلیلی با استفاده از توابع پیوسته و شکل گسسته با کمک یک روش عددی مانند المان های محدود مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین کاربرد این روش ها در مسائل محیط های همگن و نیز محیط های دارای خواص متناوب مورد مطالعه قرار گرفته است. ابتدا شکل مستقیم برای حل مسائل محیط های محدود توسعه داده شده و نتایج عددی حاکی از آن است که این شکل از روش کارایی مناسبی در حل این دسته از مسائل دارد. سپس این روش با اعمال شرط تشعشع برای بدست آوردن توابع گرین عددی به کار برده شده است. در شکل نیمه تحلیلی، این توابع می تواند برای استفاده در روش های متداول انتگرال مرزی هنگامی که بدست آوردن تابع گرین دقیق غیرممکن و یا دشوار است، به کار برده شود. در شکل گسسته نیز با استفاده از یک روش عددی، به سادگی می توان ماتریس سختی یک محیط نامحدود را محاسبه نمود. مثال های عددی نشان می دهند دقت این روش بسیار مطلوب بوده و قابل مقایسه با روش های انتگرال مرزی است. از آنجا که توابع به کار رفته در تقریب زدن توابع مجهول به صورت فراگیر است، در نزدیکی نقاط تکین روند حل دچار مشکلاتی می شود. برای رفع این مشکل شکل محلی بدون شبکه روش پیشنهادی توسعه داده شده است. مثال های عددی نشان می دهند با وجود سادگی فرمول بندی و پیاده سازی رایانه ای، این شکل از روش پیشنهادی خواص بسیار خوبی مانند روند همگرایی بسیار سریع برخوردار است. امکان حل مسائل انتشار موج با فرکانس بالا، کامل بودن رتبه ماتریس نهایی سیستم و کارایی بسیار بالا در پردازش موازی از جمله مزایای این شکل از روش است. در پایان نیز نحوه حل مسائل مقدار اولیه به کمک روش پیشنهادی مورد بررسی قرار گرفته است. مثال های عددی حاکی از آن است که حل این دسته از مسائل به کمک روش پیشنهادی با دقت مطلوب امکان پذیر است.

نیاز روزافزون فناوری امروز به حل سریع و دقیق مسائل پیچیده ، روشهای عددی را تبدیل به یکی از مهمترین مباحث در حوزه علوم مهندسی نموده است. روش اجزای محدود به عنوان یکی از قویترین این روشها، جایگاه ویژه ای در حل مسائل پیچیده تر به کمک این روش و لزوم حل سریعتر و اقتصادی تر آنها، آنالیز تطبیقی اهمیتی ویژه یافته است. در این پایان نامه با توسعه دو روش جدید ، این محدودیت برطرف شده و کارایی سه برآوردکننده خطای ‏‎spr‎‏ و فرمهای اصلی و بهبود یافته ‏‎rep‎‏ در مسائل انتقال حرارت و الاستیسیته سه بعدی با شرایط مرزی و الگوهای شبکه المان بندی و نسبتهای طولی مختلف با یکدیگر مقایسه شده است.