چکیده :در این رساله به بررسی ساختار عملگری جبر فوریه a(g)، برای گروه موضعاً فشرده g و تاثیر ساختار ترتیب القایی از ساختار عملگری آن به عنوان پیش دوگان جبر فون نویمان vn(g)، می پردازیم. میانگین پذیری ترتیبی و کاملا ترتیبی را تعریف کرده و آن را با میانگین پذیری و میانگین پذیری عملگری مقایسه می کنیم. نشان خواهیم داد میانگین پذیری جبر فوریه و میانگین پذیری کاملاٌ ترتیبی آن با هم معادل هستند. همچنین ساختار p-عملگری جبر فیگا-تالامانکا-هرتس را مورد بررسی قرار داده و برای آن یک ساختار ترتیب طبیعی که با ساختار p- عملگری آن سازگار باشد ارائه می دهیم. علاوه بر این نتایج جدیدی را در زمینه ارتباط ساختار p-عملگری ساختار ترتیب به اثبات می رسانیم. همچنین صورت کلی همریختی ها ی حافظ ترتیب روی جبر فیگا-تالامانکا- هرتس را ارائه می دهیم. نشان خواهیم داد که همریختی های حافظ ترتیب یک همریختی یا ضد همریختی بر گروه ها القا می کند. در انتها نیز جبر فوریه تحدید شده نیم گروهی را مورد بررسی قرار داده و نشان می دهیم میانگین پذیری جبر فوریه تحدید شده هر نیم گروه وارون e-یکانی با میانگین پذیری جبر فوریه گروه خارج قسمتی ماکسیمال آن معادل است.

در سال 1972 جانسون نظریه جبرهای باناخ میانگین پذیر را معرفی کرد و این سوال را مطرح کرد که آیا جبر باناخ شامل همه عملگرهای خطی کراندار روی فضای باناخ نامتناهی بعد می تواند میانگین پذیر باشد.به طور شگفت انگیزی اخیرا به این سوال پاسخ مثبت داده شد. تلفیق نتایج آرگیروس-هایدون که بر مساله جبر عملگرهای فشرده یکدار شده می پردازد این مساله را حل کرد.

دو روش برای کد کردن شارهای ژئودزیکی روی سطح مدولی موجود است: کد هندسی و کد حسابی. در این پایان نامه ما تعمیمی از کد حسابی شارهای ژئودزیکی که(a,b)-بسط نامیده می شود و به نگاشت های دو پارامتری از کسرهای مسلسل مربوط می شود را توصیف می کنیم. اگر(a,b)-بسط دارای یک "دوگان" باشد، آنگاه فضای (a,b)-بسط شارهای ژئودزیکی روی سطح مدولی، یک شیفت سافیک می باشد.

قضایای دوگانی به عنوان یکی از قضایای اساسی آنالیز هارمونیک آبلی شناخته می شوند که در حالت گروه غیرآبلی جایگزینی ندارند. تلاش های وافری برای حل مساله ی دوگانی گروه های غیزآبلی صورت گرفته که منجر به تولید رسته گروه های کوانتومی شده است. در این پایان نامه به طور اجمالی به بررسی گروه های کوانتومی از دیدگاه *c-جبری می پردازیم.