چکیده: دوگان سقف مساله بهینه سازی دوتایی نامقید درجه دوم که در [24] توصیف شده است، کرانی برای مقدار بهینگی مهیا کرده، تنها با یک چند جمله ای دقت این کران را می سنجد، و همچنین ( به خاطر پایایی نتیجه ) مقادیر تعدادی از متغیرها را در بهینگی تعیین می کند. در این پایان نامه برای به دست آوردن کرانها از روشهای نظریه گراف استفاده می کنیم که حالت خاصی از کران دوگان سقف را شامل می شود و نشان می دهد که این کرانها هنگام کاربرد در تکنیکهای شارش شبکه می توانند از مرتبه زمانی o(n^3 )محاسبه شوند. همچنین قضیه تجزیه را برای توابع شبه بولی درجه دوم با بهبود نتیجه پایایی به دست می آوریم. سرانجام نشان می دهیم که کرانهای پیشنهادی ( شامل دوگان سقف ) می توانند در یک روش تکراری برای به دست آوردن کرانهای معنی دار بهتر بکار روند.