فضای اردوش و همین طور فضاهای کامل اردوش در توپولوژی و بخصوص در نظریه ابعاد توپولوژیکی کاملاً آشنا می باشند. توصیفهای مفیدی از این فضا توسط دایکسترا و فان میل به انجام رسیده است. در این پایان نامه ضمن اشاره به کاربردهای قضایای مذکور در فضاهای از نوع اردوش، در فضاهایℓ

در سال ‎1940‎ پاول اردوش ‎cite{h8}‎ دو فضای توپولوژیک جالب توجه را معرفی کرد، که امروزه آنها را با نامهای فضای اردوش و فضای اردوش کامل می شناسیم. هرکدام از این دو فضا در فضای هیلبرت ‎$ ell^2 $‎ متشکل از دنباله های حقیقی با مربع جمعپذیر ساخته می شوند. فضای اردوش ‎$ er $‎ زیرفضایی از ‎$ ell^2 $‎ می باشد، بطوریکه تمامی مولفه های آن گویا هستند و فضای اردوش کامل ‎$ erc $‎، هر مولفه اش از دنباله ی همگرای ‎$ {0 } cup { 1/n‎ : ‎n in nn } $‎ انتخاب می شود. اردوش نشان داد که هر دو فضای فوق یک بعدی و تماماً ناهمبند هستند، همچنین مربع آنها نیز یک بعدی است. این خواص ویژه فضاهای اردوش و اردوش کامل را به مثالهای مهمی در نظریه ی ابعاد تبدیل کرده است. با توجه به کاربرد وسیع و اهمیت فضاهای اردوش، ساختن و بررسی نمونه های مشابه آن در رده های عمومی تر مورد توجه توپولوژی دانها قرار گرفت. یکی از این گامها بررسی در حالت جدایی ناپذیر می باشد. در سال ‎2005‎ دیکسترا زیرفضای ‎$ scre $‎ از فضاهای باناخ ‎$ ell^p $‎ که از حاصلضربهای شمارشپذیر زیرفضاهای صفربعدی ‎$ rr $‎ ساخته می شود، را با این هدف که کدامیک خواص مشابهی با فضای اردوش دارند، مطالعه نموده است. در این پایان نامه در حالت عمومی به بررسی فضای ‎$ scre_mu $‎ که متناظر با حاصلضرب ‎$ mu $‎ از زیرفضاهای صفربعدی ‎$ rr $‎ در فضاهای باناخ جدایی ناپذیرمی باشد، بررسی کرده و ارتباط آنها را با فضای اردوش کامل روشن می سازیم. % فضای ‎$ x $‎ را صفربعدی می نامیم هرگاه دارای پایه ای متشکل از مجموعه های بسته باز باشد. در فصل اول مطالبی مقدماتی از توپولوژی عمومی آورده شده است، همچنین مقدمه ای کوتاه از نظریه ی ابعاد توپولوژیک بعنوان یک بخش از این فصل ذکر گردیده است. با توجه به اینکه توابع نیم پیوسته کاربرد وسیعی در این پایان نامه دارند، بخش سوم فصل اول به این موضوع اختصاص داده شده است. در فصل دوم فضاهای اردوش معرفی می شوند و برخی ویژگی های آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم به معرفی و مطالعه ی فضاهای ‎$ scre_mu $‎ خواهیم پرداخت. ابتدا بعد استقرائی کوچک ‎$ scre_mu $‎ را بررسی می کنیم. در دو بخش پایانی این فصل دو حالت خاص از فضاهای اردوش جدایی ناپذیر، که بترتیب عبارتند از فضاهای اردوش جدایی ناپذیر بسته و فضاهای اردوش جدایی ناپذیر کامل را بررسی خواهیم کرد. در فصل چهارم کاربردهای این توسیع را مشاهده خواهیم کرد. از جمله مهمترین آنها انطباق سه تابع بعد برای ‎$ scre_mu $‎ می باشد. بخش آخر این فصل به اثبات ناپایداری فضای اردوش کامل جدایی ناپذیر اختصاص داده شده است.

قضیه ی افرس درباره ی عمل هایی از گروه های لهستانی روی فضاهای لهستانی در بخشی از موارد خود بیان می دارد که اگر ‎g گروه لهستانی باشد و روی فضای لهستانیx ‎ ترایا عمل کند، آنگاه x‎ یک فضای همرده ازg ‎ است. با الهام از این موضوع، ما نشان می دهیم برای هر فضای همگن و موضعا همگن قوی لهستانی ‎x‎، وجود دارد یک گروه لهستانی که، بطور ترایا روی آن عمل می کند. یعنی x فضای همرده از گروه لهستانی است. همچنین به طور مفصل مثالی از یک فضای همگن ارائه شده که یک فضای همرده نبوده و هیچ گروه توپولوژیکی متریک جدایی پذیری روی آن ترایا عمل نمی کند.

هدف اصلی این پروژه بررسی همبندسازی فضاهای توپولوژیک بوده است. نتایج برجسته و قوی در زمینه همبندسازی های هاسدورف و همبندسازی های فضاهای مترپذیر مورد مطالعه قرار گرفته اند و در نهایت به تحلیل همبندسازی ها با یک ویژگی معین پرداخته شده است.

در این پایا ن نامه ضمن بررسی یک مشابه توپولوژیکی جالب برای قضیه ی کلاسیک نرم کادک، توابع جهانی برای رده ی توابع lsc با دامنه ی حداکثر n-بعدی را می یابیم. در فصل 5 ثابت می کنیم یک فضا تقریباً n-بعدی است اگر و تنها اگر با گراف یک تابع lsc با دامنه حداکثر n_بعدی همسانریخت باشد.

در این پایان نامه با در نظر گرفتن دو زیرگروه طبیعی از گروه خود همسانریختی های خط حقیقی را با توپولوژی فشره باز در نظر می گیریم.ابتدا نشان می دهیم،زیرگروهی از همسانریختی ها که اعداد گویا را ثابت نگاه می دارد همسانریخت با حاصلضرب اعداد گویا با توپولوژی حاصلضربی است. و سپس نشان میدهیم گزوه همسانریختی هایی که شبه مرزها را ثابت نگاه می دارند همسانریخت با ابر فضایی از زیر مجموعه های فشرده نا تهی اعداد گویا با توپولوژی ویتوریس است. نتایج مشابه را برای مجموعه کانتور ثابت می کنیمو نشان می دهیم این نتایج برای مکعب هیلبرت نا درست است.

در این پایان نامه به دنبال شرایطی هستیم تا هم-اندیس کلاف مماس بر روی فضاهای افکنشی مانند ‎($ mathbb{r}p^n $‎ , ‎$ mathbb{c}p^n $‎ ,‎$mathbb{h}p^n $)‎ پایدار شوند یعنی ‎$$co-ind (alpha oplus k) =co-ind (alpha)+k$$‎ که ‎$ alpha $‎ کلاف مماس بر روی فضاهای افکنشی است و ‎$ k $‎ نیز کلاف بدیهی ‎$ k $‎ بعدی. تعریف هم-اندیس یک کلاف برداری از قضیه بورسک -اولام نشأت گرفته شده است. و از ابزارهای اصلی در این پایان نامه کلاس مشخصه اشتیفل-ویتنی و قضیه لری -هرش ‎‎ است, که از آن بهره گرفته شده است.

the space now known as complete erdos space ec was introduced by paul erdos in 1940 as the closed subspace of the hilbert space ?2 consisting of all vectors such that every coordinate is in the convergent sequence {0} ? { 1 n : n ? n}. in a solution to a problem posed by lex g. oversteegen we present simple and useful topological characterizations of ec. as an application we determine the class of factors of ec. in another application we determine precisely which of the spaces that can be constructed in the banach spaces ?2 according to the ‘erdos method’ are homeomorphic to ec. a novel application states that if i is a polishable f? -ideal on ?, then i with the polish topology is homeomorphic to either z, the cantor set 2?, z × 2?, or ec. this last result answers a question that was asked by stevo todorcevic.

در این پایان نامه ثابت می کنیم که اگرx فضای کاملا منظم و غیرگسسته و شمارا باشد به طوری که فضای توابع(cp(x یک f??-مجموعه ی مطلق باشد آنگاه فضای (cp(x با ?? همسانریخت است. یکی از کاربردهای این اثبات در این است که مابه چندین مسئله که توسط آرهانگل مطرح شده بود پاسخ منفی دادیم، این کار به وسیله ی مثالهایی از فضاهای کاملا منظم و شمارش پذیر x و y که x یک br-فضاو k-فضا نباشد و همچنین y نیز یک ?0-فضا نباشد در حالی که فضاهای توابع (cp(x و (cp(y با (cp(n همسانریخت هستند انجام می پذیرد، در جای که n= {0} u {n-1: n = 1,2,…} البته توجه ما در اینجا متمرکز است به حالتی که فضاهای (cp(x مجموعه های بورل مطلق هستند و رده ی بورلی بالاتر از 2 ندارند.

این پایان نامه شامل دو فصل است فصل اول شامل مقدمات کلی و لازم درمورد جزئاً هذلولوی هاست و فصل دوم درمورد کلاس های دسترسی باز و غیرباز و چگال بودن آنها و سپس از خاصیت دسترسی اساسی به ارگودیک بودن دیفیومورفیسم ها می رسیم.

محور اصلی بحث در این پایان نامه فضاهای همگن و انواع آن می باشد و این که با در نظر گرفتن نگاشت های معینی در تعیین همگنی خصوصیات و تعاریفی برای این فضاها به دست می آید. همچنین قضیه ی مهم بنت را بیان و اثبات می کنیم و در ادامه تعمیم متری این قضیه که توسط دایجکسترا بیان و اثبات شد را می آوریم. فصل اول شامل تعاریف مقدماتی و پایه در توپولوژی است که ما را در فهم بیشتر فصل های آتی کمک می کند. در فصل دوم فضاهای همگن و انواع آن، که از دو نوع چگال شمارای همگن و موضعاً قوی همگن تشکیل شده است، بیان می شود. قضیه اصلی این فصل قضیه ی بنت است که توسط بنت در سال ‎ 1972 اثبات شد و به این صورت است که هر فضای متری جدایی پذیر موضعاً فشرده که موضعاً قوی همگن باشد، چگال شمارای همگن است. در ادامه میل قضیه بنت را با استفاده از معیار همگرایی استقرایی ثابت کرد و همراه با آندرسون ‎و کریتس قضیه بنت را برای فضاهای کامل هم اثبات کردند. در ادامه ی فصل دوم فضاهای صفربعدی همگن و قوی همگن و ‎- ‎n‎همگن آورده می شود. در فصل سوم ابتدا توابع لیپ شیتز تعریف می شود و در ادامه مثال هایی از این توابع و خواص این توابع را بیان می کنیم. در پایان ایزومتری ها را تعریف می کنیم. در آخر و در فصل چهار خواص همگن فضاها تحت ایزومتری ها و توابع لیپ شیتز بیان می شود. بحث اصلی این قسمت تعمیم متری قضیه ی بنت می باشد که به این صورت بیان می شود: هر فضای کامل که لیپ شیتز موضعاً قوی همگن باشد آنگاه لیپ شیتز چگال شمارای همگن است و هر فضای کامل که ایزومتری موضعاً قوی همگن باشد، آن گاه ایزومتری چگال شمارای همگن است. در ادامه ی این فصل قضایایی در این رابطه به همراه مثال هایی ارائه خواهد شد.

در این پایان نامه یک عدد اصلی نامتناهی y رادر نظر می گیریم و فضای باناخ ly^p را در نظر میگیریم. برای یک گردایه ثابت از زیر مجموعه های ea که a عضو y باشد را در نظر می گیریم و فضای از نوع اردوش متناظر با این گردایه را در نظر میگیریم. و نشان میدهیم دو عدد اصلی k و m وجود دارند به طوری که هرگاه تعداد نامتناهی از ea ها در خود از رسته ی اول باشند، آنگاه فضای از نوع اردوش ما همسانریخت است با حاصلضرب دکارتی فضای اردوش در k به توان اومگا در m، اگر و تنها اگر هر eaیک fسیگما دلتا زیر مجموعه ی صفر بعدی از اعداد حقیقی باشد و بعد فضا حداقل یک باشد.

قضیه بورسوک -اولام به دلیل داشتن اثبات های مختلف، کاربردهای جالب و متنوع و قضیه های هم ارز با آن یکی از مهمترین ابزار توپولوژی جبری است که در کلی ترین فرم خود می گوید که هر تابع پیوسته ‎$f:mathbb{s}^nlongrightarrowmathbb{r}^n$‎ لااقل دو نقطه متقاطر را به یک مقدار می نگارد. و در حالت پیشرفته تر آن بیان می کند هر نگاشت فرد از ‎$mathbb{s}^{n-1}longrightarrow mathbb{s}^{n-1}$‎ درجه فرد دارد. ‎‎ گزاره های هم ارز با قضیه بورسوک-اولام به این صورت است ‎egin{itemize}‎ ‎item[•]‎ برای هر نگاشت فرد پیوسته ‎$ f:mathbb{s}^nlongrightarrow mathbb{r}^n$‎، ‎$ xinmathbb{s}^n$‎ به طوری که ‎$ f(x)=0$‎. ‎item[•]‎ نگاشت متقاطر از ‎$f:mathbb{s}^nlongrightarrow mathbb{s}^{n-1}$‎ وجود ندارد. ‎item[•]‎ نگاشت پیوسته ‎$f:b^nlongrightarrow mathbb{s}^{n-1}$‎ وجود ندارد که روی مرز آن متقاطر باشد. ‎end{itemize}‎ قضیه هام ساندویچ ‎ltrfootnote{ham sandwich}‎ و نقطه ثابت بروئر ‎ltrfootnote{brouwer fixed-point}‎ از کاربردهای مهم قضیه بورسوک-اولام است ما در این پایان نامه با دیدگاه توپولوژی جبری به اثبات این قضیه می پردازیم.

در این پایان نامه نگاهی گذرا به اثبات اولیه قضیه پیتره که به زبان نظریه بافه هااست خواهیم داشت.همچنین به تحلیل اثبات دیگری از این قضیه که توسط هلگاسون اراُه شده است می پردازیم.

در تین پایان نامه هدف بررسی عدد رنگی و رنگ امیزی نگاشتهای مختلف در فضاهاتی مختلف از جمله نگاشتهای پیوسته و همسانریختی ها در فضاهای مثل فضاهای نرمال پیوسته و اقلیدسی است.

برخنر در1966 تعدادی پیوستارm معرفی کرد که گروه خودهمسانریختی از آنها (h(m تماما ناهمبند بوده ولی صفربعدی نیستند. در 2001 برخنر و کاوامارو نشان دادند که این گروهها تقریبا صفربعدی هستند و لذا به سبب قضیه ای از تیمچاتین و اورستیخن دقیقا یک بعدی هستند. در این پایان نامه با نشاندن فضای اردوش کامل در (h(m نشان داده می شود که (h(m یک فضای جهانی برای کلاس فضاهای تقریبا صفربعدی است. ضمنا به عنوان نتیجه ای جالب از این نشاندن ثابت می کنیم (h(m با فضای اردوش کامل متفاوت است.

داده های ماهواره ای معمولا توام با خطا هستند و تصمیم درباره طبقه بندی آنها و تجزیه وتحلیل نهایی، منوط به انتخاب یک سیستم فازی مناسب برای آنهاست. در این خصوص به غیر از اطلاعات خاص در هر مورد، روش های استفاده از عملگرهای درون و بستار توپولوژی فازی متدوال است. در این پایان نامه ضمن بهبود عملگرهای درون و بستار فازی، به بررسی مواردی از این روش ها می پردازیم.

یک جبر گلفند-مازور عبارت است از یک جبر a روی میدان f همراه با توپولوژیt به طوری که اعمال جبری پیوسته بلشد و برای هر ایده آل مدولار ماکسیمال چپ یا راست mاز a، a/m به طور توپولوژیکی با میدان f یکریخت باشد. در این پایان نامه به بررسی خواص پایه ای جبرهای گلفند-مازور می پردازیم. از آن جمله ایده آل های مدولار ماکسیمال و مختلط سازی جبرهای گلفند-مازور حقیقی را عنوان می کنیم. به علاوه اگر (a,b) یک زوج از جبرهای توپولوژیکی باشد شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن با فرض گلفند-مازور بودن جبر a، b هم یک جبر گلفند-مازور باشد.

فضای اردوش فضای هیلبرت گویا است.اردوش ثابت کرد فضای مذکور یک بعدی است و با مربع خودش همسانریخت است که یک مثال مهم در نظریه بعد است. فرش سرپنسکی تعمیم یافته مجموعه کانتور درابعاد بالاتر است.در این پایان نامه نشان میدهیم گروه همسانریختی فرش سرپنسکی مجهز به توپولوژی فشرده -باز با فضای اردوش برای برای همه بعدها به جز بعد سه همسانریخت است.

در ریاضیات یک برگ بندی شیوه ای هندسی برای مطالعه ی منیفلدهاست. یک برگ بندی همانند تجزیه ی منیفلد به صورت اجتماع زیرمنیفلدهای همسان از بعد کوچکتر است . انگیزه اصلی این پایان نامه پاسخ به سوال کلی زیر در نظریه ی برگ بندی است: فرض کنید l یک منیفلد غیر فشرده است آیا l می تواند برگی از یک برگ بندی از یک منیفلد فشرده باشد؟ در این پایان نامه به مطالعه شرط های لازم و کافی در این زمینه می پردازیم.

در این پایان نامه، به مطالعه برخی فضاها می پردازیم که زیرفضاهای شبه فشرده آنها بسته اند که این خاصیت را با علامت ‎$‎ "‎fcc"$‎ نمایش می دهیم، همچنین بررسی خاصیت ‎$‎ "‎fcc"$‎ و خواص دیگری که با آن در ارتباط است و فضاهای دیگری که یک یا چند تا از خواص را دارند مورد نظر است. خاصیت ‎$"fcc"$‎ و فضاهای به طور دنباله ای فشرده ضعیف نیز در یک بخش بررسی می شوند علاوه بر این به قضایای مربوط به حاصلضرب و نشاندن پرداخته و چند سرشت از ‎$"fcc"$-‎ها را به دست می آوریم.

قضیه انتخاب یک محاسبه اصولی در تاریخچه ریاضیات است. شامل دو قضیه همراه با کاربرد عمومی و اثبات آسان است.

هدف از این پایان نامه آن است که تعداد توپولوژی ها را روی یک مجموعه متناهی تحت شرایط معینی بدست آوریم.در واقع این تعدادباتعداد زیرشبکه ها تحت شرایط معینی برابر است. در واقع مقادیرt(n,k)را محاسبه می کنیم.که ریاضیدانانی مانند الن ارنه،ماری استیج،بروسلی روسچیلد،دنل کلیتمن، ریچارد چیتر استنلی، هنری شارپ و دن استیفن در مقالاتشان مقادیری برای آن محاسبه کرده اند.

در این پایان نامه، اصل جداسازی هاسدورف ضعیف به مفهوم فانگ و رن از حالت l توپولوژی ها به توپولوژی های i_ فازی تعمیم داده میشود.به علاوه نشان داده می شود که این مفهوم موروثی و خواص ضربی را برآورده می کندو ارتباط این مفهوم با دیگر اصول جداسازی را به دست می آورد.همچنین درجه هاسدورف ضعیف بودن یک فضای توپولوژیکی i _ فازی بر اساس شبکه های فازی و سطوح i - فازی متناظر مطالعه می شود.به عنوان یک کاربرد ثابت میکنیم درجه هاسدورف ضعیف بودن یک گروه توپولوژیکی i _ فازی برابر با درجه t1 بودن آن است.

هدف ما در این پایان نامه توصیف کاملی از خاصیت arدر زیر مجموعه های محدب از فضاهای خطی متریک بر حسب گزینش های نزدیک معینی می باشد. به عبارت دقیق تر : در نتیجه اصلی پایان نامه ثابت می کنیم که زیر مجموعه های محدب در فضاهای خطی متریک هستند arاگر وتنها اگر زیر مجموعه های محدب در فضاهای خطی متریکدارای خاصیت گزینش نزدیک متناهی البعدباشند.