در این پایاننامه روشهای تجزیه آدومیان، اختلال هموتوپی و آنالیز هموتوپی را جهت حل مسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بکار می بریم هر سه روش، جزء روش های تکراری بوده و جوابهای تحلیلی مسائل را نتیجه می دهند. دقت این روشها را با مثالهای عددی بررسی کرده و نشان می دهیم که روشهای تجزیه آدومیان و اختلال هموتوپی حالت خاصی از روش آنالیز هموتوپی هستند. در فصل اول پایاننامه به ارائه تعاریف و مفاهیم اولیه و قضایای مقدماتی میپردازیم که در فصلهای بعدی مورد نیاز است. در فصل دوم روش تجزیه آدومیان بررسی شده است. در فصل سوم نیز به توضیح روش اختلال هموتوپی و در ادامه به مقایسه این روش با روش آدومیان می پردازیم. همچنین روش آنالیز هموتوپی و کاربرد آن در فصل سوم بیان شده است.

در این پایان نامه، یک مدل بهینه سازی زیرگرادیانی را برای مسئله مشهور طراحی شبکه پیوسته(cndp)بررسی می کنیم. یک مسئله طراحی شبکه پیوسته عبارت است از تعیین توسیع ظرفیت یال های موجود در شبکه به طوری که با در نظر گرفتن رفتار کاربران، هزینه کل کمینه شود. بنابراین cndp را می توان به شکل یک برنامه ریاضی با قیدهای تعادل (mpec) فرمول بندی کرد، که در آن هدف تراز بالا، کمینه کردن هزینه کل شبکه شامل هزینه زمان حرکت کل و هزینه سرمایه گذاری بوده و هدف تراز پایین، مشخص کردن جریان تعادل کاربر بر اساس اصل اول واردراپ برای هر بهبود شبکه است. در مقابل مطالعات گذشته، روش تصویر زیرگرادیان مزدوج برای حل بهتر مسئله طراحی شبکه پیوسته با همگرایی سراسری شرح داده می شود. محاسبات عددی نشان می دهند که این روش در مقایسه با روش های موجود در زمان خیلی کمتری به جواب بهین می رسد.

در این پایان نامه یک روش عددی بر پایه موجک های هار برای حل عددی دستگاه زوج معادلات دیفرانسیل معمولی که با مسائل جریان سیال همرفت طبیعی لایه مرزی باpr ‎ بالا در ارتباط هستند، ارائه می دهیم. برای این مسائل تأثیر تغییرات ‎pr‎ روی انتقال حرارت در سیال بررسی شده است. به منظور محک زدن دقت روش، سیال ویسکوالاستیک را که دارای جواب دقیق است با این روش امتحان می کنیم‎.‎ همچنین مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم که از مدل سازی ریاضی مسائل کاربردی مهندسی ناشی می شود، به طور همزمان حل شده است. کارایی روش هم محلی موجک هار با روش رانگ-کوتا، توابع اسپلاین، روش کاهش پارامترهای فیزیکی، موجک های والش و موجک های ‎بی اسپلاین مقایسه شده است. با استفاده از آنالیز تجزیه چندگانه، جواب را در نقاط شبکه درشت پیدا کرده و سپس با افزایش سطح تجزیه موجک ها دقت روش را بالا می بریم. خصوصیت متمایز روش پیشنهادی کاربرد ساده آن برای شرایط مرزی مختلف است.

در این پایان نامه، ابتدا مفاهیم اولیه در مورد سیستم های دینامیکی بیان می شود. سپس به بررسی سیستم های همیلتنی، خواص، معادله تغییر و نماهای لیاپانوف این نوع سیستم ها می پردازیم. در ادمه روش سالی را بطور خلاصه برای مدارهای آشوبناک و منظم شرح می دهیم. این شاخص در حالت آشوبناک بطور نمایی به صفر میل می کند، و در حالت منظم حول مقادیر غیر صفر نوسان دارد. سرانجام روش گالی برای تشخیص بین حرکت منظم و آشوبناک بیان می شود. گالی در حالت آشوبناک بطور نمایی به صفر میل می کند و در حالت منظم حول مقادیر غیر صفر نوسان و یا با یک تابع توانی به صفر میل می کند. همچنین نشان می دهیم که ‎$salipropto gali_2$‎ می باشد. این روش در سیستم های همیلتونی با دو و سه درجه آزادی به کار برده می شود و با روش نمای لیاپانوف و سالی مقایسه می گردد.

‎شارل فرانسوا اشتورم ریاضیدان سوئیسی و ژوزف لیوویل با انتشار مقالاتی در نیمه اول قرن نوزدهم‏، درباره معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه ی دوم شامل مسائل مقدار مرزی منتشر نمودند‏ که ‎منجر به ‎شاخه جدیدی از ریاضیات بنام نظریه ی طیفی عملگرهای دیفرانسیل شد. تاثیر کار آنان چنان بود که این موضوع به نظریه ی اشتورم-لیوویل معروف شد. یکی از مباحث در نظریه طیفی‏، محاسبه فرمول اثر می باشد.‎ در این پایان نامه ابتدا تعاریف و مفاهیم اولیه در مورد معادله اشتورم-لیوویل بیان می شود. سپس به بررسی شرایط مرزی منظم و نامنظم و فرم کلی مقادیر ویژه و جواب این نوع معادله پرداخته می شود. همچنین ‎‎‎‎‎‎‎‎‎در این پایان نامه مسأله طیفی برای معادله اشتورم-لیوویل با تابع پتانسیل مقدار مختلط ‎‎‎‎ ‎$‎‎‎q(x)‎$‎‎ با شرایط مرزی منظم و نامنظم روی بازه‎‎‎ ‎‎ ‎‎$‎(‎0,pi‎)‎$‎ ‎ ‎‎را در نظر می گیریم‎‏ و برای این عملگر اولین فرمول اثر منظم را بدست می آوریم.

در این پایان نامه، ابتدا مفاهیم اولیه در مورد سیستم های دینامیکی بیان می شود. سپس، به بحث در مورد سیستم های آشوبناک پرداخته می شود. با تحلیل ریاضی نشان می دهیم که انشعاب هاف در سیستم مالی در سه نقطه ی تعادل ‎$ s_{0,1,2} $‎ اتفاق می افتد و انشعاب هاف در ‎$s_{0} $‎ ناتباهیده و فوق بحرانی است. سپس با کمک کامپیوتر وجود نعل اسب آشوبناک را برای سیستم مالی بررسی می کنیم.

در این پایان نامه‏، مسائل طیفی وارون برای عملگر اشتورم- لیوویل روی گراف ‎‎‎‎d‎‎‎- ستاره و تعیین دسته دیفرانسیل از داده های طیفی درونی مورد مطالعه قرار می گیرد. ‎ابتدا تعیین دسته دیفرانسیل از داده های طیفی درونی بررسی می شود.‎ ‎‎ ‎‎ما اثبات می کنیم که : با‎ معلوم بودن ‎‎‎‎p(x)‎ ‎ یا ‎‎‎‎q(x) ‎ روی‎ بازه ی ‎‎‎‎[0,?]‎ ‎ می توانیم‎‎ با داشتن مجموعه ی مقادیر توابع ویژه در نقطه ی میانی ‎‎‎‎[0,?]‎ ‎ به علاوه یک طیف یا برخی اطلاعات از توابع ویژه در برخی نقاط داخلی ‎‎b?(‎ ?/2,‎?)‎ و ‎قسمت هایی‎ از دو طیف ‎تابع مجهول و همه ی پارامترهای شرایط مرزی را روی بازه ی‎ [0, ?]‎ ‎تعیین کرد. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎در‎ نهایت مسائل وارون طیفی برای عملگر دیفرانسیل اشتورم- لیوویل روی گراف d‎‎‎- ستاره با شرایط انطباق (جورسازی) استاندارد در رأس داخلی برای ‎d?‎2‎‎‎ بررسی می شود.‎ ‎‎همچنین اثبات می شود که:‎ اگر تابع پتانسیل ‎qj(x)‎ ‎ روی یال ثابت ‎‎‎‎ej در بازه ی ‎‎‎‎[‎?/2‎, ‎?]‎ ‎‎‎‎ معین باشد‏، می توانیم با استفاده از طیف تابع ‎qj(x)‎ ‎ را روی بازه ی ‎‎‎‎[0, ?]‎ ‎ تعیین کنیم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.