روش های تکراری هنگامی که بعد ماتریس ضرایب بزرگ باشد و یا ماتریس ضرایب تنک باشد بر روش های مستقیم ارجحیت دارد. روش های تکراری به دو دسته روش های تکرای ایستا و روش های تکراری غیرایستا تقسیم بندی می شوند. در این پایان نامه ابتدا روش تکراری ایستای gaor را برای حل مسایل کمترین مربعات وزن دار معرفی میکنیم و در ادامه برای افزایش سرعت همگرایی این روش تکراری دو نوع ماتریس پیش شرط معرفی می کنیم. سپس با کارایی این روش های پیش شرط سازی شده را با استفاده از چند قضیه نشان دادهایم و در آخر به حل چند دستگاه خطی پر کاربرد و مهم با استفاده از این روش ها پرداخته ایم.

همواره در علوم مختلف با معادلاتی رو به رو هستیم که در بسیاری از موارد یافتن جواب تحلیلی برای آن ها مشکل و گاهی نیز مقدور نیست. لذا در این موارد سعی می شود که با استفاده از روش های عددی با کارایی مناسب، تقریب نزدیکی از جواب واقعی را به دست آوریم. در این میان روش های طیفی به طور قابل توجهی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال مورد استفاده قرار می گیرند. این روش ها دارای کارایی و دقت کافی به همراه سرعت همگرایی بالا می باشند. یکی از روش های مهم طیفی که ما در این پایان نامه از آن برای به دست آوردن تقریب عددی بسیار نزدیک به جواب دقیق استفاده کرده ایم، روش شبه طیفی می باشد. در این پایان نامه ابتدا به معرفی یک پیش شرط و یک طرح تجزیه دامنه برای مشتق گیری به روش حاصل ضرب ماتریس مشتق در بردار مقادیر پرداخته و سپس این پیش شرط و طرح تجزیه دامنه را در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات معمولی و معاذلات با مشتقات جزیی با روش شبه طیفی به کار می بریم. واژه های کلیدی: روش شبه طیفی – ماتریس مشتق چبیشف- حاصل ضرب ماتریس مشتق در بردار مقادیر- پیش شرط – تجزیه دامنه – خطای گرد کردن – معادلات با مشتقات جزیی

در این پایان نامه از روش هموتپی تحلیلی ، برای پیدا کردن جواب ها ی سیستم معادله دیفرانسیل جزئی کسری و سیستم معادلات تلگراف کسری – زمانی و– مکانی استفاده می کنیم . این پایان نامه درستی و کارایی بالای روش هموتپی تحلیلی را برای حل سیستم معادلات دیفرانسیل جزئی کسری را نشان می دهد روش هموتپی تحلیلی در ابتدا توسط لیائو ارائه شد. این روش به گونه موفقیت آمیزی برای حل معادلات همگن و ناهمگن و سیستم های معادلات و مسائل علمی و مهندسی به کار برده شده است. روش هموتپی تحلیلی دارای یک پارامتر کمکی می باشد که شیوه مفید و ساده ای برای تنظیم و کنترل ناحیه همگرایی و سرعت همگرایی جواب سری را نشان می دهد . پس از طریق روش هموتپی تحلیلی جواب های تحلیلی مسائل غیر خطی نیز ممکن می شود . در دهه های اخیر حساب دیفرانسیل کسری کاربرد های متنوعی در زمینه های فن آوری و مهندسی مثل مهندسی حرارت، صورت، الکترومغناطیسی، کنترل، ربوتیک، آشفتگی، پردازش سیگنال و بسیاری از فرایند های فیزیکی پیدا نموده است. معادلات دیفرانسیل کسری در مدل سازی بسیاری از مسائل مهندسی فیزیکی بکار برده شده اند و این معادلات در دینامیک های غیر خطی نیز استفاده شده اند. پیدا کردن روش های موثر و دقیق برای حل ها محیط فعالی برای تحقیق می باشد. جواب دقیق اکثر ها به آسانی قابل دستیابی نیست، پس باید از روش های عددی و تحلیل استفاده شود. در این پایان نامه روش هموتپی تحلیل برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری و سیستم معادلات تلگراف کسری – زمانی و سیستم معادلات تلگراف کسری – مکانی استفاده شده است .

بررسی وجود و چندگانگی جوابهای معادلات دیفرانسیل به ویژه با شرایط مرزی اغلب بسی دشوار بوده و همراه با گام های ملالت آور می باشد بطوریکه همواره نیاز به پیش شرط هایی می باشد که معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی مورد نظر باید داشته باشد. بنابراین اثبات آنالیزی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی اغلب غیر ممکن می باشد. روشهای تقریبی- تحلیلی یا روشهای عددی صرفاً برای بدست آوردن جواب موجود مورد نظر بصورت تقریبی مورد استفاده قرار می گیرند و قادر به پیش بینی جوابهای چندگانه مسائل مقدار مرزی غیر خطی نمی باشند. بر این اساس ایدهء استفاده از روشهای عددی برای بررسی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی در این رساله مطرح شده است. در این رساله ما روش آنالیز هموتوپی پیشگو (pham) را معرفی کرده ایم که بر اساس آن می توان پی به چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی برد. پایه اصلی این روش، روش آنالیز هموتوپی می باشد که در دهه اخیر برای بدست آوردن جواب تقریبی – تحلیلی به صورت سری برای معادلات دیفرانسیل مطرح شده است. در این روش با استفاده از پارامتری می توان همگرایی سری جواب را کنترل و سرعت بخشید، علاوه بر این می توان برای مسائلی که شامل قسمتهای غیر خطی قوی دارند بکار برد و جوابهای تقریبی مناسبی با دقت بالا بدست آورد. روش آنالیز هموتوپی پیشگو را می توان به آسانی روی معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی با شرایط مرزی به کار برد. این روش علاوه بر پیش بینی چندگانگی مسائل مقدار مرزی قادر به محاسبه همزمان تقریبی- تحلیلی آنها نیز می باشد. بر این اساس برای استفاده های کاربردی در علوم و مهندسی این روش این امکان را می دهد که جوابهای ناشناخته ای از معادلات بدست آید که اساساً مورد علاقه می باشند. با توجه به وجود نرم افزار های قوی سیمبلیک امروزه، این روش ما را متقاعد می سازد که آن را روی معادلات غیر خطی بکار ببریم و مهمّتر اینکه خود را از گام های ملالت آور وجود و بررسی جواب مبرّا سازیم. در روش آنالیز هموتوپی پیشگو دو پارامتر وجود دارد که نقش مهمّی در بررسی چندگانگی جوابها دارد، یکی از آنها پارامتر کنترل کننده همگرایی و دیگری پارامتر تجویز شده به مسئله می باشد. این روش مزیّت دیگری نیز دارد که تنها با یک حدس آغازی و یک عملگر خطی و یک تابع کمکی همه شاخه های جوابهای مساله را بدست می دهد. ساختار این رساله به شرح زیر است. در فصل اول به بیان مقدمه ای بر روش آنالیز هموتوپی می پردازیم زیرا روشی که ارائه خواهد شده بر اساس این روش است. این فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [1] s. abbasbandy, m. pakdemirli, e. shivanian, optimum path of a flying object with exponentially decaying density medium, z. naturforsch. 2009; 64a: 431 – 438. [2] s. abbasbandy, e. shivanian, solution of singular linear vibrational bvps by the homotopy analysis method, journal of numerical mathematics and stochastics, 20009; 1 (1): 77-84. [3] s. abbasbandy, e. shivanian, a new analytical technique to solve fredholm’s integral equations, numer algor 2011; 56: 27–43. [4] h. vosughi, e. shivanian, s. abbasbandy, a new analytical technique to solve volterra’s integral equations, mathematical methods in the applied sciences, 2011; 10(34): 1243-1253. [5] s. abbasbandy, e. shivanian, series solution of the system of integro-differential equations, z. naturforsch, 2009; 64a: 811 – 818. در فصل دوم به معرفی روش و سپس بصورت کامل به آنالیز ریاضی آن پرداخته می شود و در فصل سوم چندین مدل کاربردی که اعتبار روش را تائید می کند، بررسی می شود. این دو فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [6] s. abbasbandy, e. magyari, e. shivanian, the homotopy analysis method for multiple solutions of nonlinear boundary value problems, commun nonlinear sci numer simulat 2009;14: 3530–3536. [7] s. abbasbandy, e. shivanian, prediction of multiplicity of solutions of nonlinear boundary value problems: novel application of homotopy analysis method, commun nonlinear sci numer simulat 2010; 15: 3830–3846. [8] s. abbasbandy, e. shivanian, exact analytical solution of a nonlinear equation arising in heat transfer, physics letters a, 2010; 374: 567–574. [9] s. abbasbandy, e. shivanian, k. vajravelu, mathematical properties of h-curve in the frame work of the homotopy analysis method commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 4268–4275. [10] s. abbasbandy, e. shivanian, predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2456–2468. در فصل چهارم به مسائل مقدار مرزی غیر خطی که دارای شرط مرزی در بی نهایت می باشند، بصورت مختصر پرداخته می شود و روشی مبتنی بر شبه طیفی – هم محلی برای یک مساله مقدار مرزی غیر خطی ناشی از جریان تبادل حرارت مخلوط در ماده متخلخل که دارای شرایط مرزی در بی نهایت می باشد بکار گرفته می شود و جوابهای دوگانه آن بدست می آید که بر اساس مقاله زیر است. [11] s. abbasbandy, e. shivanian, multiple solutions of mixed convection in a porous medium on semi-infinite interval using pseudo-spectral collocation method, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2745–2752.

در سالهای اخیر روشهای بدون شبکه برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی محبوبیت زیادی پیدا کرده است. هدف این رساله ارائه روشهای عددی بدون شبکه بر اساس روش بدون شبکه محلی پتروف-گالرکین ‎(mlpg)‎ برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. در فصل اول مقدمه ای مختصر بر روشهای بدون شبکه ارائه خواهیم داد و آنها را به سه دسته کلی دسته بندی می کنیم. از آنجا که روشهای ارائه شده در این رساله بر روش ‎mlpg‎ استوار است، در فصل دوم این روش به تفصیل بررسی خواهد شد. در فصل سوم، با توجه به اهمیت بسیار زیاد سیستم های معادلات دیفرانسل غیر خطی با مشتقات جزئی، یک روش بدون شبکه برای حل عددی آنها ارائه می شود و برای فائق آمدن بر مشکل غیر خطی بودن، یک روش پیشگو-اصلاحگر در هر گام زمانی پیشنهاد خواهد شد. در فصول چهارم و پنجم، جوابهای عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی دو بعدی و سهموی با شرایط مرزی غیر کلاسیک بررسی خواهد شد. فصل ششم به حل عددی معادلات دیفرانسیل دوبعدی کسری-زمان مکش-پخش-عکس العمل اختصاص یافته است. در نهایت یک نتیجه گیری کلی ارائه و پیشنهاداتی برای خوانندگان علاقه مند جهت کارهای آتی بیان خواهد شد.

جواب عددی مسایل مقدار ویژه اشتورم – لیوویل با استفاده از روش تاو گاوس - لژاندر را در نظر می گیریم. در این روش جواب معادلات دیفرانسیل به صورت حاصل جمع متناهی از پایه های لژاندر، تقریب زده می شود. روش ارائه شده در این پایان نامه ، بهبود یافته روش تاو گاوس – لژاندر است که در آن ، جواب به صورت حاصل جمع متناهی از پایه های لژاندر با وزن های نمایی نوشته می شود.با معرفی این وزن های نمایی ، بهبود یافته روش تاو گاوس – لژاندر جواب های نوسانی مسائل اشتورم لیوویل را به خوبی تقریب خواهد زد. کارایی این روش با مثال های عددی نشان داده شده است.

اشغال ایران در شهریور 1320 ش و در پی آن تبعید رضا شاه، روی کار آمدن محمد رضا شاه، تشکیل کابینه ی فروغی و انعقاد قرارداد اتحاد سه گانه بین ایران و روس و انگلیس، روی کار آمدن سهیلی در اسفند 1320ش و بازگشت مجدد قوام به صحنه سیاسی کشور در سال 1321 ش، تحولات سیاسی اجتماعی متعددی را در تاریخ معاصر ایران در پی داشت. در این تحولات عوامل بسیاری تأثیرگذار بودند که باعث به وجود آمدن مشکلاتی مانند بحران نان در کشور شد. با روی کار آمدن سهیلی، کشمکش های درونی در ایران افزایش یافت. از طرفی حضور نیروهای آزاد شده پس از برکناری رضا شاه، امکان فعالیت های سیاسی برای گروه های مختلف اعم از مخالف و موافق را مهیا کرد. به نحوی که این وضعیت باعث شد تا عمر کابینه ها بسیار کوتاه شود. از طرفی، حضور متفقین به خصوص انگلیس تأثیر بسزائی بر این روند گذاشت. هرج و مرج ناشی از اشغال باعث قدرت گرفتن نیروهای مخالف در جامعه شد تا جایی که در بعضی از مناطق کشور نیز زمزمه ای مبنی بر استقلال قومیت ها شکل گرفته بود. در این دوره شاهد شروع دوباره ی فعالیت های سیاسی یکی از پرکارترین سیاستمداران تاریخ معاصر ایران یعنی قوام السلطنه هستیم. همزمان با اشغال کشور، وی نیز فعالیت های سیاسی خود را آغاز و بالاخره توانست هر چند برای مدت کوتاهی، قدرت را به دست بگیرد. رقابت بین شاه و قوام بر سر تحدید حدود قدرت یکدیگر منجر به پدید آمدن «بلوای نان» گردید که در نهایت امر غلبه از آن شاه بود و باعث استعفای قوام گردید

بسیاری از مسائل علوم محاسباتی یک سیستم خطی n معادله n مجهول را بوجود می آورند؛ (1.0) ax=b , a=[a_ij ]?c^(n×n) ,پذیر معکوس a , b,x?c^n که a یک ماتریس بزرگ، تنک و غیرهرمیتی می باشد. در این پایان نامه همگرایی روش های تکراری تفکیکp-منظم را برای دستگاه خطی مثبت معین غیرهرمیتی مورد مطالعه قرار می دهیم. نتیجه اصلی این است که تفکیک بفرم a=m-n که n=n^* است یک تفکیک همگراست. مثال های معمولی از تفکیک ها که در شرایط همگرایی صدق می کند ساخته می شود وآزمایش عددی برای نشان دادن نتایج همگرایی انجام می شود.

در این اثر روش های طیفی را برای معادلات انتگرال دیفرانسیلی از نوع ولترا بررسی می کنیم. ابتدا معادله انتگرال دیفرانسیل از نوع ولترا را به صورت معادل با دو معادله انتگرال از نوع دوم نمایش می دهیم و سپس با استفاده از شرایط هم محلی هردو را حل می کنیم. اینجا تابع هسته وسایر توابع بکار رفته در معادله اصلی به قدری هموار هستند که امکان بکار بردن روش های عددی از مرتبه بالا را فراهم می کنند.یک تحلیل خطای دشوار برای روش گفته شده نیز ارائه می کنیم. به نظر می رسد نتایج این تحقیق اولین تقریب طیفی موفق با دلایل نظری است. به علاوه نتایج عددی به دست آمده نیز تحلیل ما را تائید می کند.

چکیده در این پایان نامه به جواب های موجی سفری معادلات دیفرانسیل جزیی غیرخطی با استفاده از روش انتگرال اول پرداخته شده است. فصل اول شامل مفاهیم ابتدایی از قبیل معادلات دیفرانسیل جزیی و انواع آن و تئوری حلقه در جبرجابجایی است. در فصل دوم ابتدا به بیان قضایای مورد نیاز و دو قضیه ی اساسی که روش انتگرال اول بر مبنای آن ها پایه گذاری شده اشاره شده و سپس به شرح روش انتگرال اول پرداخته شده است. فصل سوم شامل حل چندین معادله دیفرانسیل جزیی غیرخطی با استفاده از روش انتگرال اول است. فصل چهارم شامل حل چندین دستگاه معادله دیفرانسیل جزیی غیرخطی با استفاده از این روش است.

برای این گونه مسائل روش مونت کارلو روشی کارا و رایج بوده و اجرای آن اجرای مستقل از بعد انتگرال است . این روش شامل محاسبه ی تابع در برخی نقاط داخلی یا کرانه ای دامنه است که بصورت تصادفی انتخاب میشوند . روشی دیگر برای محاسبه ی این انتگرال ها روش شبه مونت کارلو است . پیاده سازی روش شبه مونت کارلو سنتی معمولاٌ مستقل از بعد انتگرال نیست و بنابرین برای انتگرال های با بعد بالا مناسب نیست . اما با این حال اخیراٌ با تکنیک های که برای تولید نقاط انتگرال گیری این روش اعمال شده است و توصیه های جدیدی مستقل از بعد انتگرال حاصل شده اند ، که می توان آن ها را برای دامنه با بعد دلخواه به کار گرفت . از مهمترین مجموعه ی نقاطی که به عنوان نقاط انتگرال گیری روش مونت کارلو مورد استفاده قرار می گیرند

معادلات دیفرانسیل کسری را می توان بوسیله انواع متنوعی از روشها حل کرد.روش مشخصه تفاضل متناهی هم یکی از این روشها می باشد،این روش جدید که از ترکیب روش مشخصه و روش تفاضلات متناهی کسری برای حل معادله انتشار گرمای دوطرفه در فضای دوبعدی است. این روش جدید از توسعه روش مشخصه تفاضل متناهی کسری پدید آمده است، این روش در حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری نتایج بهتری را می دهد. بررسی پایداری، همگرایی در نرم بینهایت و محاسبات عددی نشان می دهد که این روش بدون قید وشرط پایدار است و این یعنی برتری این روش به روشهای شناخته شده ی دیگر،که با چند مثال عددی بررسی می شود.مثال هایی با روشهای ضمنی و صریح حل،و باروش مشخصه تفاضل متناهی مقایسه می شوند.

همواره تولید کنندگان سیستم های سنجش از دور با دغدغه ای به عنوان دقت و صحت عملکرد سنجنده های خود روبرو هستند. به همین دلیل قبل از ساخته شدن این سیستم ها یعنی در فاز طراحی، از نرم افزار شبیه ساز* تصاویر سنجش از دور که مراحل کامل تصویربرداری سنجنده* را مدلسازی می نماید، استفاده نموده تا علاوه بر بهینه سازی طراحی قطعات، کاهش هزینه های تولید را به همراه داشته باشد. به طور کلی یک شبیه ساز تصاویر سنجش از دور شامل 3 مدل اصلی "زمین"، "اتمسفر" و "سنجنده" می باشد که هر کدام از این مدل ها بعنوان یک حلقه از زنجیره تولید تصویر*، دارای اهمیتی خاص هستند. اما دانشمندان توجه ویژه ای به مدلسازی "سنجنده" دارند، چرا که هر سنجنده با توجه به نوع، نحوه تصویربرداری و همچنین تعداد باندهای تصویر، نیاز به مدلسازی جدید دارد. مدلسازی سنجنده، داری 5 بخش عمده؛ تعیین موقعیت و وضعیت* سنجنده در مدار، تعیین موقعیت زمینی آشکارسازهای* سنجنده، پاسخ مکانی* سنجنده، پاسخ طیفی* سنجنده و تولید تصویر می باشد که برای انجام این مدلسازی از مشخصات طراحی آن سنجنده استفاده می شود. نظر به انتشار مشخصات طراحی سنجنده oli* ماهواره لندست8* که به تازگی در ماه فوریه سال 2013 در مدار قرار گرفته است، شبیه سازی تصویر پانکروماتیک* این سنجنده با قدرت تفکیک مکانی 15 متر، به عنوان هدف این پایان نامه، تعیین گردید. آنچه که برای انجام این شبیه سازی به عنوان داده های ورودی در نظر گرفته شد، تصویر فراطیفی* و داده ارتفاعی لیدار* با قدرت تفکیک مکانی یکسان 5/2 متر، که در ماه ژوئن سال 2012 از منطقه شهری هیوستون* آمریکا توسط موسسه ncalm* تهیه شده است، می باشد. همچنین برای ارزیابی دقت نتایج از تصویر واقعی لندست8 که در ماه مه 2013 توسط سازمان زمین شناسی آمریکا(usgs*)، از همان منطقه اخذ شده، استفاده گردید. شاخص هایی که این پایان نامه را نسبت به تحقیقات گذشته متمایز می نماید؛ اولاً: طراحی یک نرم افزار شبیه ساز تصویر پانکروماتیک برای یک سنجنده جدید و پرکاربرد بوده و ثانیاً: نوع داده مورد استفاده است، که برای اولین بار این نوع شبیه سازی بر روی یک منطقه شهری با عوارض مصنوعی انجام می گیرد. ارزیابی دقت شبیه سازی در دو مرحله، دقت مکانی؛ با مقایسه موقعیت زمینی پیکسل های نظیر در دو تصویر تولید شده و تصویر واقعی صورت پذیرفت که مقدار rmse* آن برابر 49/7 متر یعنی معادل 5/0 پیکسل می باشد و دقت طیفی؛ با مقایسه لبه های* استخراج شده توسط اپراتور کَنی* در دو تصویر انجام گرفت، که مقدار ضریب کاپا* در طبقه بندی این لبه ها برابر 41/70% می باشد. این نتایج که بدون مدلسازی "زمین" و "اتمسفر" حاصل شده است نشان می دهد، تصویر تولید شده و تصویر واقعی دارای مشابهت زیادی بوده و نرم افزار شبیه ساز به درستی عمل می نماید و آنچه که میزان اختلاف است می تواند با بهبود محاسبات مربوط به؛ تعیین موقعیت و وضعیت سنجنده در مدار، تعیین موقعیت زمینی آشکارسازهای سنجنده، پاسخ مکانی و پاسخ طیفی سنجنده، کاهش یابد. همچنین برای توسعه این شبیه سازی، میتوان مدلسازی سنجنده را در جهت تولید تصاویر چندطیفی*، فراطیفی و همچنین سیستم های تصویربرداری مختلف، ارتقاء داد. کلمات کلیدی: شبیه سازی- مدلسازی- پانکروماتیک- سنجنده oli- ماهواره لندست8- پاسخ مکانی- پاسخ طیفی- منطقه شهری- تصویر فراطیفی- داده ارتفاعی لیدار

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه روش سینک گالرکین که یک روش عددی و جدید برای حل معادلات معکوس می باشد و توابع سینک و خاصییتهای آن بیان ومعرفی می شوند. روشی که ما در اینجا مورد بررسی قرار می دهیم در حالت کلی شامل معادلات دیفرانسیل عمومی و جزئی و معادلات دیفرانسیل انتگرالی و... است.حل این مسائل با روش سینک گالرکین منجر به دستگاه معادلات خطی یا غیر خطی گسسته می شود سپس با استفاده از حاصلضرب کرونکر به معادلات ماتریسی ساده تری خواهیم رسید و سپس با استفاده از خطی یا غیر خطی بودن این معادلات دستگاه حل می گردد..

این پایان نامه در شش فصل تنظیم شده است: فصل اول به بررسی و مرور مفاهیم جبر خطی ، که در این پایان نامه به وفور به آنها برخورد می کنیم، پرداخته شده است.اکثر قضایا در این فصل بدون اثبات می باشد. با توجه به اینکه در فضاهای سوبولف به دنبال جواب مساله ‏‎-p‎‏ لاپلاسین خواهیم گشت، این فضاها به تفصیل در فصل دوم توضیح داده شده اند، بدین ترتیب ، زمینه لازم برای ورود به فصلهای بعدی را فراهم می کند. در فصل سوم به معرفی مسائل مقدار مرزی با عملگرهای بیضوی و چگونگی حل آنها و قضایای مربوط به وجود و یکتایی جواب برای مساله ضعیف پرداخته شده است.در این فصل روشهای تقریب تغییراتی مسائل مقدار مرزی نیز معرفی گردیده است. در فصل چهارم موضوع اصلی یعنی روش عناصر متناهی مطرح می گردد. در این فصل این روش به صورت جداگانه برای مسائل خطی و غیرخطی بررسی شده است. فصل پنجم آنالیز خطای روش عناصر متناهی در حل مساله ‏‎p- لاپلاسین می باشد. با ارائه قضایا و لمهائی و ایجاد شرایطی روی بعدهای فضاهای سوبولف ، کران خطا را تا حدودی بهبود می بخشد. فصل ششم، اجرای عددی روش عناصر متناهی روی حالتهای مختلف مساله ‏‎-p‎‏ لاپلاسین می باشد.