با در نظر گرفتن مجموعه های مستقل از راس های یک گراف به عنوان اعضای یک همبافت ساده گون مربوط به گراف می توانیم در مورد پوسته پذیر بودن آن بحث کنیم همچنین مجموعه های مستقل بیشین را رویه می نامیم و اگر رویه های یک همبافت ساده گون رت بتوانیم طوری مرتب کنیم که تشکیل یک رویه را بدهد آنگاه گراف مورد نظر ÷وسته ÷ذیر می باشدو به تعریف حلقه کوهن-مکالی و حلقه کوهن-مکالی دنباله ای نیز می پردازیم و بیان می شود که یک گراف دوبخشی کوهن-مکالی دنباله ای است اگر و فقط اگر پوسته پذیر باشد.

در این پایان نامه ضمن معرفی مفاهیم اولیه در سیستم های دینامیکی، ارتباط بین نقاط تناوبی و نقاط ناسرگردان و همچنین نقاط بازگشتی و نقاط تناوبی را برای نگاشت های بازه ای به دست می آوریم و نشان می دهیم که در حالت کلی برای نگاشت های گرافی این رابطه برقرار نیست و رابطه ی اصلی را برای نگاشت های گرافی ارائه می دهیم. سرانجام در مورد وجود نقاط بازگشتی برای نگاشت های گرافی در کمان های مفروض، بحث می شود.

چکیده در این رساله از مقاله ی مای و شائو استفاده شده است. اگر یک نگاشت پیوسته از گراف به خودش باشد به آن نگاشت گرافی گفته می شود. مجموعه های نقاط تناوبی، نقاط بازگشتی، نقاط حدی، نقاط ناسرگردان و نقاط زنجیری بازگشتی از را به ترتیب با ، ، ، ، نمایش می دهیم که برای این مجموعه ها چنین رابطه ای برقرار است. بلاک و فرانک ثابت کردند که اگر یک نگاشت بازه ای و یک مجموعه ی بسته باشد آنگاه است. رجوع شود به [17]. در این رساله نشان می دهیم که اگر یک نگاشت گرافی و یک مجموعه ی بسته باشد آنگاه است. همچنین با بیان کردن یک مثال، نشان می دهیم که در حالت کلی برای نگاشت گرافی با مجموعه ی بسته ی ، می توان نتیجه گرفت که است.

مطالعه ایده ال های یالی گراف های وتری از اهداف اصلی این پایان نامه است. برای گراف g ایده ال یالی گراف همان ایده ال استنلی ریزنر مجتمع سادکی مستقل گراف g است. لذا مطالعه این مجتمع سادکی و بررسی خواص آن به شناخت خواص ایده ال یالی آن کمک شایانی می کند

یک دیفیومورفیسم هذلولوی جزئی حافظ یک انداز? هموار را روی یک منیفلد فشرد? هموار در نظر بگیرید. فرض کنید توزیع مرکزی این دیفیومورفیسم نسبت به یک برگ بندی با برگه های فشرد? هموار، انتگرال پذیر باشد. نشان می دهیم اگر مجموع نماهای لیاپونوف اش در امتداد مرکز آن روی مجموعه ای با انداز? مثبت، صفر نباشد این برگه ها خاصیت پیوستگی مطلق را ندارند‎.

در این پایان نامه به بررسی مقالات [9] و [17] خواهیم پرداخت که موضوع آن در رابطه با جبر جا به جایی ترکیبیاتی است. جبر جا به جایی ترکیبیاتی شاخه ای نسبتاً جدید و به سرعت در حال رشد از ریاضیات است که در اواسط دهه 1970 توسط هاکستر و استنلی پایه گذاری شد. این شاخه از ریاضیات که در فصل مشترک دو شاخه قدیمی تر جبر جا به جایی و ترکیبیات قرار دارد به بررسی اشیاء ترکیبیاتی با استفاده از ابزارهای جبری مانند حلقه، ایده آل و... می پردازد. نقطه عطف توسعه این شاخه را می توان کار استنلی در اثبات حدس کران بالا برای کره ها با استفاده از نظریه حلقه های کوهن- مکالی دانست. ما در این پایان نامه گراف ها را با استفاده از ایده آل های یالی مورد مطالعه قرار می دهیم. فرض کنید g گرافی ساده و بدون جهت روی مجموعه رئوس v(g)={v_1,…,v_n } و با مجموعه یال های e(g) باشد. هم چنین فرض کنید s=k[x_1,…,x_n ] حلقه چند جمله ای های n متغیره باشد که در آن k یک میدان است. با یکسان سازی رأس v_i با متغیر x_i به ازای i=1,…,n، ایده آل تک جمله ای خالی از مربع i(g)=(x_i x_j?{v_i,v_j }?e(g) ) را به گراف g وابسته می کنیم.i(g) را ایده آل یالی g می نامیم. در کنار این شیءِ جبری، همبافت ساده گون ?_g را به گراف g نظیر می کنیم که ویژگی های زیبای بسیاری را از گراف g منعکس می کند. ?_g را همبافت مستقل g می نامیم و آن را چنین تعریف می کنیم. ?_g={f?v(g)?باشد g در مستقل مجموعه یک f} که منظور از مجموعه مستقل f?v(g) در g، مجموعه ای است که هیچ دو عضوی از آن در g مجاور نباشند. به لحاظ تاریخی، ایده آل های یالی ابتدا توسط ویلاریل در [24] معرفی شدند. او نشان داد که این ایده آل ها اشیاء جبری مناسبی برای گراف ها هستند. پس از آن، این موضوع به سرعت مورد استقبال پژوهشگران واقع شد و در دست نوشته های فراوانی به این موضوع پرداختند که از آن جمله می توان به [10]، [14]، [15] و [25] اشاره داشت. یکی از سرفصل های نو در جبر جا به جایی بررسی ویژگی های گراف g از راه بررسی ویژگی های حلقه s?(i(g)) است و بالعکس. از طرفی حلقه های کوهن- مکالی مورد توجه زیاد کسانی است که در جبر به جایی کار می کنند. در نتیجه جریان ویژه ای روی این مسئله متمرکز شده که گراف g دارای چه ویژگی هایی باشد تا حلقه s?(i(g)) کوهن- مکالی شود. گراف هایی با این ویژگی را گراف های کوهن- مکالی گوییم. مسأله عمده در این رابطه طبقه بندی تمام گراف های متناهی کوهن- مکالی روی میدان دلخواه k است. اما هم چنان که در [14] اشاره شده است، این مسأله معادل است با طبقه بندی تمام همبافت های ساده گون کوهن- مکالی روی میدان k که کار دشواری به نظر می آید. براین اساس، طبیعی است که محققان به مطالعه رده های خاصی از گراف های کوهن- مکالی بپردازند. گراف های کوهن- مکالی در چندین نوشتار بررسی شده اند. برای مثال می توان در [25] ساختارهایی از گراف های کوهن- مکالی و ویژگی هایی در مورد گراف های کوهن- مکالی دو بخشی یافت. گراف های کوهن- مکالی دو بخشی در [12] توصیف شده اند. هرزوگ، هیبی و ژنگ نشان دادند که یک گراف وتری کوهن- مکالی است اگر و تنها ناآمیخته باشد (به [14] مراجعه کنید). به ویژه این مطلب در مورد درخت ها و جنگل ها صدق می کند. در این نوشتار ما ثابت می کنیم که مکمل یک d- درخت کوهن- مکالی است. این مطلب ما را قادر می سازد تا مثال های فراوانی از گراف های کوهن- مکالی به دست آوریم. برای این کار ما از قضیه ای از فروبرگ استفاده نموده ایم که در آن شرطی را برای اینکه حلقه استنلی – ریسنر یک همبافت ساده گون با تحلیلی دو خطی، کوهن- مکالی باشد، داده شده است. حلقه استنلی- ریسنر، حلقه ای خارج قسمتی است که با یک همبافت ساده گون متناظر می شود. به بیان دقیق تر، اگر? یک همبافت ساده گون روی مجموعه رئوس v={v_1,…,v_n } باشد و i_? ایده آل تولید شده توسط تک جمله ای های خالی از مربع متناظر با غیر وجه های ?، آنگاه حلقه استنلی – ریسنر ? را حلقه خارج قسمتی k[?]=s?i_? در نظر می گیریم. در ادامه ما نشان می دهیم که مکمل یک d- درخت پوسته پذیر محض است.گراف g را پوسته پذیر محض گوییم هر گاه همبافت ساده گون ?_g پوسته پذیر محض باشد. یکی از ویژگی های مهم همبافت های ساده گون پوسته پذیر محض که منسوب به هاکستر [16] است، این است که حلقه استنلی- ریسنر آنها روی هر میدانی، کوهن- مکالی است. بنابراین حکم اخیر در واقع تعمیمی از حکم قبل است.

در این پایان نامه شکافند‏ه های ایده آل های تک جمله ای مورد مطالعه قرار می گیرند. همچنین شرایطی را مطالعه خواهیم کرد که تحت آن شرایط اعداد بتی مدرج در یک ایده آل تک جمله ای بتوانند برحسب اعداد بتی مدرج ایده آل های کوچکتر محاسبه شوند، این شرایط تکمیل کننده روش شکافنده الیاهو-کرویر می باشد. به عنوان کاربردهایی از این مسأله نشان داده شده است که ایده آل های یالی گراف ها شکافتنی هستند. به علاوه روش دیگری را جهت محاسبه ی اعداد بتی ایده آل های پوششی گراف های دوبخشی کوهن-مکالی مورد بررسی قرار می دهیم. درحقیقت یکی از اهداف این پایان نامه یافتن پاسخ هایی است برای این که چه وقت یک ایده آل تک جمله ای یک شکافنده بتی دارد. یافتن چنین شرایطی ما را قادر می سازد که اعداد بتی مدرج ایده آل های تک جمله ای بیشتری را مطالعه کنیم.همچنین ما یک روش تکراری را برای محاسبه اعداد بتی مدرج از ایده آل های پوششی گراف های دوبخشی کوهن-مکالی توسعه می دهیم.

به هر گراف ساده متناهی یک مجتمع ساده گون نسبت داده می شودکه وجوه آن نظیرمججموعه های مستقل گراف می باشند. یک گراف را تجزیه پذیر راسی می گوییم هرگاه مجتمع ساده گون نظیر آن تجزیه پذیر راسی باشد. در این پایان نامه بررسی می شود که چه خانواده هایی از گراف ها در ویژگی تجزیه پذیری رأسی صادقند. نتایج مقاله های مورد مطالعه ما تکمیل و توسیع تلاش های اخیر بسیاری از ریاضی دانان بر روی این مساله است که آیا می توان با استفاده از یک گراف، گرافهایی ساخت که خواصی چون تجزیه پذیری راسی، پوسته پذیری و کوهن-مکالی یا کوهن-مکالی دنباله ای بودن تحت این تعمیم حفظ شود.

در این رساله نشان می دهیم نوعی از همبافت های ساده گون به نام درخت های ساده گون دارای خاصیت های جبری جالبی می باشند. به عنوان مثال درخت های ساده گون به طور دنباله ای کوهن-مکالی می باشند. به علاوه در خت های ساده گون نا آمیخته نیز کوهن-مکالی می باشند و در پایان نشان می دهیم تحت شرایط خاصی در خت های ساده گون کوهن-مکالی پوسته پذیر می باشند.