دراین پایان نامه ابتدا در مورد توابع تک ارز و خواص هندسی آنهاو همچنین رابطه ی این خواص هندسی باشرایط معادل خواص تحلیلی مطالعه می کنیم . h را کلاس همه توابع تحلیلی در دیسک واحد u وa_n را یک خانواده از همه توابع تحلیلی نرمال شده f در دیسک واحد u به شکل f(z)=z+?_(k=1)^??a_(n+k) z^(n+k) داشته باشد. سپس بااستفاده از تابع فوق هندسی گاوس و یک عملگرانتگرالی و مشتق کسری و انتگرال کسری کلاس u(?,?,?) را که شامل توابع تحلیلی تک ارز می باشد تعریف می کنیم. با تعیین شرایط روی پارامترهای ? و ? و ? بااثبات قضایای جالبی محک ستاره گونی توابع را اثبات می کنیم و کلاس مورد نظر را بطور کامل مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم به طوریکه اعضای خانواده u(?,?,?) ستاره گون یا تک ارز باشد. این بررسی ما را به عملگرهای تبدیلی جالبی از توابع فوق هندسی هدایت می کند که این عملگرها عضو کلاس u(?,?,?)و نیز توابع ستاره گون باشند.

این پایان نامه به طور عمده راجع به فضای لگهریتمی بلوخ است که شاملاندسته از توابع مانند fاند که در دیسک واحد تحلیلی اند

در این پایان نامه ما قصد داریم که برخی از نا مساوی های میانگین را برای توابع بسل تعمیم یافته نوع اول و دوم مطرح کنیم

در این پایان نامه خواص پیچشی توابع کلاس های بطور یکنواخت k-محدب و توابع k-ستاره گون معرفی شده در مرجع های [5]و [7]را در نظر می گیریم.ما مسأله ی پایداری انتگرال پیچشی جفت های مشخص شده از چنین کلاسهایی را بررسی میکنیم و همچنین کرانهای بالا و پایینی را برای شعاع پایداری آنها به دست می آوریم.در این پایان نامه بعضی از نتایج به دست آمده در مرجع [2] را بهبود میبخشیم.

تابع تک ارز دو سویی تابع تک ارز و تحلیلی است که در دیسک واحد تعریف شده و معکوس آن {1-}^g=f نیز تک ارز در دیسک واحد می باشد. توابع تک ارز دو سویی f که و پیروی هستند با یک تابع تک ارز که برد آن نسبت به محور حقیقی متقارن می باشد را معرفی کرده و ضرایب اولیه ی آن زا به دست می آوریم.

بعداز بیان مفاهیم مقدماتی در فصل اول از جمله مفاهیم نظریه توابع تک ارز, متر شبه هذلولوی ومترهذلولوی مشتق شوارتزین ومشتق شبه شوارتزین و همجنین نرم شبه شوارتزین و جند معیار برای تک ارزی با استفاده از مشتق شبه شوارتزین مب آوریم و بعد جند فضای مهم دیگر از جمله فضای bmoa,فضای نوع دیریکله و فضای بلوخ فضای هاردی و جند رابطه بین آنها بیان می کنیم. و بعد تابع بطور بکنواخت موضعا تک ارز را تعریف کرده و رابطه بین ان و فضای هاردی را بررسی می کنیم

فرض می کنیم b حاصل ضرب بلاشکه ی متناهی باشد از tb برای عملگر ضرب تحلیلی (که عملگر توپلاینز نیز نامیده می شود) روی فضای برگمن در دیسک واحد استفاده می کنیم. ما نشان می دهیم که عملگر های (tbtb-i)به توان یک دوم و (tbtb-i) به توان یک دوم هر دو نگاشت هایی پوشا از فضای برگمن a2 به فضای هاردی h به توان 2 و از فضای هاردی hبه توان 2 به فضای دیریکله d هستند.

از دیر بازمحققین زیادی تلاش کرده اند که محک هایی را برای تک ارزی توابع تحلیلی ارائه دهند. در این پایان نامه سعی شده است که راهکارهای جدیدی را برای تک ارزی توابع تحلیلی ارائه دهیم. به علاوه ، هدف از تدوین این پایان نامه پیدا کردن محک هایی برای توابع ستاره گون است، که باعث می شود اطلاعات جدیدی برای توابع بطور یکنواخت محدب وتبدیل انتگرال برنالدی را بدست آوریم. این موضوع اولین بار توسط ویسینگ وپاناسومی مورد مطالعه قرار گرفته است و ما در این پایان نامه سعی می کنیم مقاله آنها را مورد بررسی قرار دهیم.

در این پایان نامه شرایط دقیق ستاره گونی برای توابع تحلیلی با مشتقات کراندار بررسی شده است و همچنین برد مجموعه همچنین برد مجموعه { zf′(z)/f(z) ;z∈d,f ∈λj} مورد مطالعه قرار می گیرد.که در آن jλ توابع تحلیلی نرمالیزه در ریسک واجد با شرط | f′(z) - 1 | ≤ λ هدف اصلی این پایان نامه تعمیم قضیه (3.2.4) و فراهم آوردن راههای مختلف برای بدست آوردن کران دقیق برای توابع ستاره گون است.

دراین پایان نامه ابتدا به معرفی میانگین های انتگرالی روی توابع تحلیلی پرداخته سپس ارتباط آنها را با پیروی های دیفرانسیل بررسی خواهیم نمود. ارتباط بین میانگین های انتگرالی وپیروی های دیفرانسیل توسط لیتلوود مطرح وبررسی شد.هم چنین محققین دیگری همچون اوا تحقیقات ارزنده ای درمقاله های [1],[2]ارائه نموده اند.

در این پایان نامه نرم مشتق شبه شوارتزین در زیرکلاسهای خاصی از توابع تک ارز مانند کلاس توابع ستاره گون از مرتبه ی آلفا،توابع محدب از مرتبه ی آلفا، توابع فنرگون معرفی می شود. سپس این نرم در زیرکلاسهای آلفا فنرگون، توابع بطور یکنواخت محدب و توابع به طور یکنواخت ستاره گون بدست می آید. سپس عملگر جدیدی معرفی می شود که عملگرهای دیگری مانند عملگر الکساندر،مشتق کسری و انتگرال کسری را شامل می شود.در نهایت فضاهای خاصی از توابع،مانند فضاهای هاردی،فضاهای qp ،فضای بیزو معرفی شده و بررسی می شود.

نظریه ی آنالیز مختلط‎‏‏، یکی از شاخه های مهم ریاضی است که با قدمتی نزدیک به دو قرن، کاربردهای فراوانی در سایر علوم از جمله فیزیک و مهندسی دارد. بی تردید می توان گفت که این نظریه پایه ای برای برخی شاخه های ریاضی (از جمله نظریه ی تحلیلی اعداد، نظریه ی منیفلدها، و نظریه ی هموتوپی) است. از دیگر زیر شاخه های این نظریه که مباحث تخصصی تر را شامل می شود می توان به نظریه ی توابع ‎‏هندسی، پیروی های دیفرانسیل، نظریه ی عملگرها، نظریه ی نگاشت های همساز، فضاهای هاردی و غیره اشاره نمود. در مبحث نظریه توابع هندسی یکی از موضوعات جالب، نظریه ی عملگرها و به خصوص عملگرهای انتگرالی است که در این حوزه پژوهشگران بسیاری وارد شده و مقالات فراوانی منتشر کرده اند. ما در ادامه و در طول پایان نامه به برخی از آن ها اشاره خواهیم کرد. به عنوان مثال، ‎ عملگر لیبرا‎fnote{lr{libera operator}}‎ ‎cite[صفحه ی 11]‎{bib:46‎‎}‏‎ به صورت:‎‎ ‎[l[f](z) = frac{2}{z}int_0^z {f(t)‎dt}, ‎(z in mathbb{d}) ]‎ تعریف می شود. عملگر برنارد‎ی‎‎fnote{lr{bernardi operator}}‎ ‎cite‎‏[صفحه ی 52]{bib:46}‎ که تعمیم عملگر لیبرا است، با ضابطه ی زیر تعریف می شود: ‎[{l_gamma }[f](z) = frac{{1‎ + ‎gamma }}{{{z^{gamma }}}}int_0^z {f(t){t^{gamma‎ - ‎1}}dt}, (‎ ee ‎gamma > ‎-1‎‎‎‎, ‎z in mathbb{d}). ]‎ در مورد عملگر اخیر، ثابت شده است که ‎$l_gamma$‎ کلاس توابع ستاره گون را به ستاره گون، توابع محدب را به محدب و توابع نزدیک به محدب را به نزدیک به محدب می برد که در آن ‎$op{re} gamma ‎geqslant‎‎ 0$‎ ‎cite[صفحه ی 67]{bib:46}‎‏‏، یا عملگر انتگرالی تعمیم یافته ی ‎[‎i‎[f](z) = {left( {frac{{eta‎ + ‎gamma }}{{{z^{gamma }}phi (z)}}int_0^z {{f^alpha }(t){t^{delta - ‎1}}varphi (t)dt} } ight)^{frac{1}{eta }}}]‎ را در نظر می گیریم که در سال ‎1978‎ توسط میلر‎fnote{lr{miller}}‎، موکانو‎fnote{lr{mocanu}}‎ و رد‎fnote{lr{reade}}‎ معرفی شده است ‎mbox{‎‎cite[صفحه ی 44]{‎‎bib:46‎}}‎. ‏در مورد این عملگر‏، با محدودیت هایی که روی پارامترهای ‎$alpha‎‎$‎‎‏‏، ‎$‎eta‎$‎‎‏‏، ‎$‎gamma‎$‎ و ‎$delta‎$‎ گذاشته می شوند، همراه با شرایطی دیگر روی توابع تحلیلی ‎$phi$‎ و ‎$varphi$‎، ثابت می شود که ‎$i$‎ کلاس توابع ستاره گون را به ستاره گون می برد. در مقالات متعدد دیگر، تک ارزی عملگرهای انتگرالی خاص بررسی شده است. به عنوان مثال می توان به کارهای صورت گرفته توسط بریز‎fnote{lr{breaz}}‎، آاوف‎fnote{lr{aouf}}‎، فراسین‎fnote{lr{frasin}}‎، پانو‎سومی‎fnote{lr{‎ponnusa‎my}}‎، راشو‎‏یه‎fnote{lr{ruscheweyh}}‎ و فورنییر‎fnote{lr{fournier}}‎ اشاره کرد. در این موارد، خواننده می تواند مراجع ‎cite{‎bib:11, bib:14, bib:15, bib:27, bib:29, bib:31, bib:33, bib:61, bib:63‎‎‎‎‎}‎ را ‏مورد مطالعه قرار دهد. مشابه همین سوالات، در این پایان نامه برای عملگرهای انتگرالی خاص روی زیر کلاس های خاصی از توابع تحلیلی مطرح و پاسخ داده شده است. ‎par‎ از مباحث دیگری که در این رساله مطرح گردیده است، عبارتند از پیروی های دیفرانسیل قوی و فوق پیروی های قوی. اگر چه کار روی پیروی ها و مباحث مربوط به آن ها به حدود ‎$‎80‎$‎ سال پیش بر می گردد ولی عمده پیشرفت و توسعه در این حوزه از سال ‎1981‎ به بعد و در مقاله ای با عنوان ‎qut‎ پیروی های‎‏ دیفرانسیل و توابع تک ارز ‎quti‎ ‎cite{bib:44}‎ بوده است که این مقاله پایه ای برای بیش از ‎$300$‎ مقاله در زمینه مربوطه تا سال ‎$2000$‎ بوده است. از آن پس مقالات متعددی در این زمینه توسط ریاضی دانان معروفی همچون میلر، موکانو، راشویه‏،‎ دورن‎‏‎‏‎‎‎‎fnote{lr{duren}}‏،‎ گودمن‎ ‎‎fnote{lr{goodman}}‎‎و پومرنک‎‎fnote{lr{‎pommernke}‎}‎‎‎‏ به چاپ رسیده اند. کار روی پیروی های دیفرانسیل قوی و فوق پیروی های قوی نیز از سال 1994 و پس از معرفی مفهوم آن توسط آنتونینو‎‎‎‎fnote{lr{antonino}}‎‎ و روماگورا‎‎fnote{lr{romaguera}}‎‎‎ در مقاله ی ‎cite{‎bib:10‎}‏،‎ توسعه یافته است. از جمله ریاضی دانانی که در این زمینه ها مقالات فراوانی را منتشر کرده اند می توان به کارهای اُرُس‎fnote{lr{oros}}‎، آنتونینو، سورش‎fnote{lr{suresh}}‎ و سریواستاوا‎fnote{lr{srivastava}}‎ و ... اشاره نمود. برای کسب اطلاعات بیشتر در موضوعات اخیر خواننده را به مراجع ‎cite{bib:8, bib:10, bib:38, bib:46, bib:53, bib:54‎‎‎‎}‎ ارجاع می دهیم. ‎par‎ عمده مطالبی که در این رساله به آن ها پرداخته خواهد شد، عبارت اند از: ‎‎ بررسی عملگرهای انتگرالی خاص همراه با خواص هندسی آن ها، چند نتیجه در مورد پیروی ها و فوق پیروی های قوی و کاربرد ضرب پیچشی. پایان نامه ی حاضر شامل چهار فصل به شرح زیر است: ‎par‎ در فصل اول، مفاهیم پایه و مقدماتی را که در فصل های آتی مورد نیاز خواهند بود آورده ایم. از آوردن اثبات لم ها، قضیه ها و مطالب اضافی صرف نظر کرده ایم و برای مطالعه ی جزئیات، خواننده را به منابع مورد نظر ارجاع داده ایم. ‎par‎ فصل دوم را به بررسی عملگرهای انتگرالی خاص و خواص هندسی آن ها اختصاص داده ایم. در بخش اول چند عملگر انتگرالی تعمیم یافته را روی زیر کلاس خاصی از توابع تحلیلی نرمالیزه در نظر می گیریم و با استفاده از محک هایی که برای تک ارزی موجود است، تک ارزی آن ها را بررسی می کنیم. در بخش دوم، دو عملگر انتگرالی مکرر را در نظر گرفته و با استفاده از شرطی که برای ستاره گونی توابع تحلیلی نرمالیزه موجود است، ستاره گونی آن ها را به همراه چند نتیجه ی دیگر بررسی می کنیم. بخش سوم این فصل را به یافتن مرتبه ی خانواده های خطی پایای مینیمال خاص اختصاص داده ایم. به علاوه، ارتباط بین مرتبه و شعاع تک ارزی و محدب واری را در این بخش خواهیم دید. توضیحات بیشتر و کامل تر در زمینه ی خانواده های خطی پایا و مرتبه ی خطی پایایی را می توانید در فصل اول ملاحظه کنید. ‎par‎ فصل سوم به پیروی های‏ دیفرانسیل قوی و فوق پیروی های قوی اختصاص یافته است. در بخش های اول و دوم این فصل، یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی اول تعمیم یافته را در نظر می گیریم. سپس با توجه به محدودیت هایی که روی توابع تحلیلی مرتبط با این معادله‏ إعمال می شوند، پیروی ها و فوق پیروی های خاصی را نتیجه می گیریم. در هر مورد، مثال هایی برای درک بهتر موضوع مطرح کرده ایم. در بخش سوم، عملگر انتگرالی دو متغیره ی خاصی را در نظر گرفته و با استفاده از لم های موجود نشان داده ایم که این عملگر، پیروی ها و فوق پیروی های خاصی را حفظ می کند (ویژگی پایایی عملگر). سپس در ادامه، قضیه های افشردگی ‎(ساندویچی)‎ را در هر دو مورد مطرح کرده ایم. ‎par‎ در فصل چهارم، برخی از کاربردهای ضرب پیچشی توابع و عملگرها را بررسی کرده ایم. این فصل شامل دو بخش است. در بخش اول، دو عملگر انتگرالی دوگانه در نظر گرفته شده است. سپس با پیدا کردن شرایطی روی پارامترها و با استفاده از خواص ضرب پیچشی نشان داده شده است که این عملگرها ویژگی هایی از زیر‏ کلاس خاصی از توابع تحلیلی نرمالیزه را حفظ می کنند. در بخش دوم، ستاره گونی عملگرهای خاص را که با استفاده از ضرب پیچشی تعریف شده اند بررسی می کنیم. به علاوه، با استفاده از تکنیک حاصل ضرب های بلاشکه متناهی، دقیق بودن کران ها را در هر مورد ثابت می کنیم.

تقریباً در بسیاری از علوم، به ویژه مهندسی، این سوال اساسی مطرح می شود: تحت چه شرایطی یک شیء که به طور تقریبی در یک خاصیت مورد نظر صدق می کند، به شی ای که به طور دقیق در همان خاصیت صدق کند، نزدیک خواهد شد؟ در معادلات تابعی، می توان این سوال را چنین مطرح کنیم: در صورتی که جواب معادله ای به میزان خیلی کوچک با جواب دقیق معادله داده شده تفاوت داشته باشد، چگونه این جواب تقریبی به جواب دقیق معادله داده شده، به میزان دلخواه، نزدیک خواهد شد؟ مسأله ی پایداری معادلات تابعی از سوال اساسی فوق نشأت گرفته است. در ارتباط با این سوال اس. ام.اولام‎s‎. ‎m‎. ‎ulam )‎ ) در سال ‎1940‎، یک سوال در رابطه با پایداری همریختی گروه ها مطرح کرد. معادلات تابعی، به ویژه طی سه دهه ی گذشته با نتایج جالب توجه و کاربردهای زیاد، برای تبدیل شدن به یک شاخه مهم از ریاضیات رشد قابل ملاحظه ای کرده است. به علاوه از آن جایی که تعمیم در ریاضیات موضوع مهمی می باشد، با تعریف فضاهای نرم دار جدید، فضاهای متریک جدید و فضاهای برداری توپولوژیک، مفهوم پایداری و به خصوص پایداری معادلات تابعی و دستگاه معادلات تابعی روی این فضاها از اهمیت زیادی برخوردار خواهد بود. همچنین بحث و مطالعه روی همریختی ها و مشتق ها بین ساختارهای جبری، یکی دیگر از مسائل جالب در ریاضیات می باشد، به طوری که محققین بسیاری در مورد آنها روی ساختارهای جبری مختلف به تحقیق پرداخته اند. ما در این رساله با در نظر گرفتن فضاهای ناارشمیدسی، فازی، l‎-فازی، فازی شهودی و برداری توپولوژیک، بحث پایداری روی این فضاها را به وسیله ی معادلات تابعی گوناگونی مورد بررسی قرار می دهیم. به علاوه دستگاه معادلات تابعی را در فضاهای ناارشمیدسی و فضاهای فازی شهودی ناارشمیدسی بررسی نموده و مفهوم پیوستگی در فضاهای فازی شهودی ناارشمیدسی را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین با تعریف ‎c*‎-جبرهای فازی القاء شده، ‎c*‎ -جبرهای لی فازی القاء شده و جبرهای باناخ سه تایی فازی، همریختی ها، مشتق ها و مشتق های دوطرفه تقریبی را روی این ساختارها بررسی می کنیم. در خاتمه پیشنهاداتی جدید در ارتباط با این موضوعات برای ادامه کار مطرح می کنیم.

در این پایان نامه عضویت مشتق حاصلضربهای بلاشکه در فضاهای هاردی وبرگمن، بخصوص برای حاصلضربهای بلاشکه درونیاب و برای حاصلضربهای بلاشکه که صفرهایش در زاویه استولز واقع است مورد مطالعه قرار می گیرد و برهانهای جدید و ساده تری نسبت به قبل بدست می آید که این قضایای جدید تعمیم دهنده ی نتایج بدست آمده توسط آهرن، کلارک، کهن، کیم، نیومن، پروتاس، رودین، وینوگراد و سایر محققین می باشد.

برخی نتایج جدید مربوط به نامساوی هرمیت هادامارد برای کلاسی از توابع که دومین مشتقات توانی معین آنها‏، توابع‎-s‎ ‎محدبی در دومین مفهوم ‏هستند‏، ‏بدست آمده ا‏ند.‎‎ و همچنین‏، برخی از کاربرد های میانگین های خاص از اعداد حقیقی نیز اثبات شده است. ‎‎

در این پایان نامه کلاس ترکیبات خطی از توابع را معرفی می کنیم که پیرو توابع محدب هستند. بعضی روابط بین این کلاس و کلاس توابع حقیقی مقدار که در بازه [0,2?] با تغییر کراندار هستند را شامل می شود لذا کلاس های متناظر به توابع با تغییر کرانداری موکانو را تعریف می کنیم. با استفاده از ویژگی های توابع شبه ستاره گون چند مقداری، روابط شمول مختلف بین کلاس های توابع تعریف شده بدست خواهیم آورد. همچنی بعضی کاربرد های نتایج اصلی را نیز مشاهده خواهیم کرد.

‏در این پایان نامه به دنبال بررسی دو مساله اساسی در خصوص عملگر های ترکیبی در فضای دیریکله می باشیم. مساله نخست که مشابه آن را والتر رودین در بحث فضاهای هاردی‎‎‎h^2‎‎ مطرح کرده است در خصوص اعمال شرایطی بر روی تابع تحلیلی ‎f است تا خانواده ‎f^n‎‎‎‎‏ در فضای دیریکله متعامد شود.مساله دوم مشابه کارهای شاپیرو در خصوص نرم عملگرهای ترکیبی با نماد توابع داخلی در فضای هاردی ‎‎‎‎h^2‎‎‏ است.در این قسمت نرم عملگرهای ترکیبی که نماد آن ها نگاشت کامل تک ارز است بررسی خواهند شد. این پایان نامه در چهار فصل تدوین شده است. در فصل نخست در بخش اول ‏تعریف ها‏، نمادها‏، مفاهیم و قضایای مقدماتی آنالیز حقیقی‏، مختلط‏ و تابعی را که در فصل های آتی مورد نیاز خواهند بود آورده شده است.در بخش دوم نیز چند فضای مهم نظیر باناخ‏، هیلبرت‏، هاردی‏، برگمن‏ و بیزو معرفی شده اند. تمامی این فضاها ارتباط نزدیکی با فضای دیریکله دارند. در فصل دوم در بخش نخست به تعریف فضای دیریکله و ویژگی های مهم آن اشاره شده است.در این پایان نامه فضای دیریکله را با نماد ‎ {d}‎‎‏‎نشان داده و ثابت خواهد شد که یک فضای هیلبرت و زیر فضای ‏، فضای هاردی ‎‎‎‎h^2‎‏ می باشد.‏در ادامه این بخش هسته مولد فضای دیریکله تعریف شده‏،که نقش بسزایی در این فضا ایفا می کند.در بخش دوم نیز پس از معرفی عملگر های ترکیبی به بررسی شرایط کران داری و فشردگی این عملگرها در فضای دیریکله پرداخته شده است. در فصل سوم در بخش نخست عملگر های ترکیبی ایزومتری بررسی شده است.در بخش دوم نیز با مطرح نمودن سوال رودین‏، توابع متعامد در فضای دیریکله معرفی شده اند. در فصل چهارم نرم عملگر های ترکیبی در فضای دیریکله معرفی و در انتها ‏ارتباط این نرم با نگاشت های کامل تک ارز بیان شده است. در ‏سراسر این پایان نامه ابتدا تعاریف و قضایا را برای فضای برگمن ‎‎‎‎a^2‎‏ و فضای هاردی ‎‎‎‎h^2‎‎‏ مطرح می کنیم و سپس موارد مشابه را برای فضای دیریکله بررسی می کنیم.

این پایان نامه شامل 3 مبحث کلی در مورد مثبت بودن جمع های مثلثاتی و ستاره گونی توابع از مرتبه مشخص و نزدیک به محدب و ستاره گونی میانگین های چزارو می باشد که در ? فصل ارائه شده است. فصل اول که در برگیرنده مفاهیم اولیه در زمینه آنالیز حقیقی و مختلط، توابع تک ارز، توابع ستاره گون، توابع محدب، نزدیکبه محدب است و در ادامه به معرفی تابع فوق هندسی پرداخته و در آخر ضرب پیچیشی را بیان می کنیم. در فصل دوم ابتدا به تاریخچه جمع های مثلثاتی مثبت می پردازیم و در ادامه به اثبات لم ها و قضیه هایی می پردازیم که جزو مباحث اصلی پایان نامه می باشد. در فصل سوم ابتدا به معرفی کلاس توابع نوعا حقیقی می پردازیم و در ادامه به اثبات لم ها و قضیه هایی در این مورد می پردازیم. در فصل چهارم به معرفی میانگین های چزارو پرداخته و لم ها و قضیه هایی آورده می شوند که شرایطی برای نزدیک به محدب بودن نسبت به توابع ستاره گون بیان شده است. این پایان نامه بر اساس دو مقاله زیر تدوین گردیده است: • s.r. mondal, a. swaminathan, on the positivity of certain trigonometric sums and their applications, computers and mathematics with applications. 62 (2011) 3871– 3883. • g. brown, s. koumandos, on a monotonic trigonometric sum, monatsh. math. 123 (2) (1997) 109–119.

فرض کنیم s(?, ?, ?) کلاس همه ی توابع تحلیلی در دیسک واحد dبه صورت (0)-1=0´ f(0)=fنرمالیزه بوده و نیزz/f(z)?0 و در شرط زیر نیز صدق می‍ کند: |f´(z)(z/f(z))2-?z3(z/f(z))(3) -(?+?)z2 (z/f(z))(2) -1|?? , برای هرz? d و برای برخی از ثابتهای حقیقی ?>-1 و? که +?>-1? باشد شرایطی روی ثابتهای ? و? پیدا می کنیم به طوری که هرتوابع کلاس s(?, ?, ?) درd تک ارز باشند. به عنوان یک نتیجه از تحقیق ما معیارهایی از ستاره گونی و تک ارزی را ارئه می دهیم، که تابع z/up,b,c متعلق به کلاس s(?, ?, ?) می شود که در آن up,b,c دلالت دارد بر فرم مناسب نرمال شده از توابع بسل تعمیم یافته از نوع اول می باشد. فصل اول که مفاهیم اولیه است و مطالب مورد نیاز برای فصول بعدی آورده شده است، شامل چهار بخش است در بخش اول توابع تک ارز و پیروی را تعریف کردیم. در بخش دوم توابع ستاره گون و توابع محدب را تعریف کرده سپس به بیان بعضی قضایا در این زمینه می پردازیم در بخش سوم به ضرب پیچشی و خواص آن پرداخته ایم. در بخش سوم به توابع بسل را تعریف کرده و قضایای در موردآن بیان کردیم. در فصل دوم کلاس a را معرفی کرده و s کلاس توابع تک ارز ، کلاس a را توسط نامساوی دیفرانسیل تعریف می کنیم. در ادامه به برسی خواص زیر کلاس های p(?) u(?), m(?), از کلاس a را بیان می کنیم. همچنین خانواده ای یک پارامتری از توابع ،در کلاس m(1) را معرفی می کنیم که ستاره گون می باشند. علاوه بر نتایج خاص، شرط لازم و کافی برای ضرایب، در توابعی که متعلق به m(?) می باشند را ارائه می دهیم. در فصل سوم کلاس n را که یک کلاس از توابع تک ارز a را بیان می کنیم و شرایط لازم کافی برای تعلق یک تابع تحلیلی به این کلاس بر حسب ضرایب تیلور آن ارائه می دهیم. در فصل چهارم کلاس s(?,?,?) را معرفی می کنیم و شرایطی روی پابتهای ? و ? پیدا می کنیم، به طوری که توابع کلاس s(?,?,?) در d تک ارز باشند. و در بخش آخر توابع بسل تعمیم یافته نوع اول را بیان می کنیم و با در نظر گرفتن شرایط روی پارامترهای b, p و c بیان می شود. و بیان قضیه ی اصلی فصل را بیان و اثبات می کنیم. این پایان نامه بر اساس مقالات زیر تهیه و تنظیم شده است m. obradovic, s. ponnusamy, on a class of univalent functions, appl. math. lett.25(10)(2012) 1373-1378. m. obradovic, s. ponnusamy, a class of univalent functions defined dy a differential inequality, kodai math. j. 34(2011) 169-178. a. baricz, s. ponnusamy, differential inequalities and bessel functions, j. math. anal. appl. 400 (2013) 558-567.

در این پایان نامه خانواده ای از توابع همساز مختلط مقدار حافظ جهت را که در دیسک واحد dنرمالیزه شده ونزدیک به محدب هستند را بررسی می کنیم. ابتدا شرایطی را در نظر می گیریم که تحت آنها عناصر این خانواده روی dنزدیک به محدب باشند و در ادامه شرط کافی برای آنکه fدر این خانواده قرار گیرد را ارائه میدهیم. با استفاده از این شرط، شرایط کافی برای نزدیک به محدب بودن f بر حسب ضرایب قسمت تحلیلی و هم تحلیلی آن به دست می آوریم. در نهایت شرایطی را برای a و b تعیین می کنیم به طوری که f(z)=zf(a,b;a+b;z)+(?z^2 f(a,b;a+b;z) ) ?, یک تابع نزدیک به محدب (و تک ارز) در dمی باشد که در آن یک تابع فوق هندسی گاوسی را نشان میدهد. .

عملگرها، توابع تحلیلی و خوش ریخت، از مباحث بسیار مهم در آنالیز هستند که همواره مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته اند. در این پایان نامه، با استفاده از خواص ضرب پیچشی، دوگان بعضی از زیرکلاس های $ mathcal{a} $ را تعیین می کنیم. همچنین کران هایی برای شعاع پایداری ضرب پیچشی بعضی از این زیرکلاس ها پیدا می کنیم. علاوه بر این، برای کلاس توابع خوش ریخت دو نوع همسایگی تعریف می کنیم و شرایط کافی برای قرار گرفتن یک عضو این کلاس در $ -delta $ همسایگی دیگر اعضای این کلاس را تعیین می کنیم. در این پایان نامه، همچنین با استفاده از عملگر $ i_b^s(lambda, mu, n) $ زیرکلاسی از توابع $ mathcal{a}_n$ که شامل توابع محدب و ستاره گون است را معرفی می کنیم و بعضی از ویژگی های این کلاس را بررسی می کنیم. علاوه براین، بعضی از خواص چند عملگر دیگر که تعمیم بسیاری از عملگرها، مانند عملگرهای برناردی، کوماتو و... هستند را بر کلاس $ mathcal{a}_n $ بررسی می کنیم. از جمله مهمترین این خواص، پیدا کردن شرط کافی برای حفظ پیروی است. در ادامه، عملگر خاصی را بر توابع خوش ریخت در نظر می گیریم و بعضی از خواص آن را در این کلاس مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین شرایط کافی برای حفظ پیروی، فوق پیروی و برقراری قضیه ساندویچ در این کلاس، تحت این عملگر را پیدا می کنیم.

این پایان نامه در سه فصل نوشته شده است. فصل اول تعاریف و مفاهیم اولیه در زمینه ی آنالیز مختلط، توابع تک ارز، توابع همساز، توابع ستاره گون، محدب و نزدیک به محدب می باشد. در فصل دوم برای زیر کلاس دلخواهی از s، همساز آن، ویژگی ها و قضایایی را اثبات کرده ایم. در فصل سه عملگرهای الکساندر ولیبرای همساز را تعریف کرده ایم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.