حلقه های ارزیاب، ارزیاب گسسته و دامنه های ددکیند سالهاست که مورد مطالعه قرار گرفته اند. خواص و روابط بین آنها در کتابهای جبر جابجایی زیادی آورده شده است. بحث مدولهای ددکیند اولین بار در سال 1996 توسط a.g. naoum و f.h. al-alwan معرفی شدند. آنها مفهوم دامنه های ددکیند را به نظریه مدولها تعمیم دادند. بعد از آن در سال 2004 ، m. alkan و y. tirasو در سال 2005، m. alkan, b. sarac و y.tirasسایر مفاهیم مثل به طور صحیح بسته بودن را به نظریه مدولها تعمیم دادند و ویژگیهای دیگر مدولهای ددکیند را مشخص کردند و به برخی خواص برای مدولهای ددکیند، بمانند خواص آنها در حلقه ها دست یافتند. ما با معرفی و تعمیم برخی مفاهیم دیگر از نظریه حلقه ها به نظریه مدولها مثل مدولهای ارزیاب و ارزیاب گسسته سعی کرده ایم تا مفاهیم مشابهی برای مدولهای ددکیند مانند بحث نظریه حلقه ها بدست آوریم. ایده آلهای قویا اول و دامنه های شبه ارزیاب توسط john r.hedstrom و evan g. houston در سال 1978 معرفی شدند و بعد از آن ریاضیدانان زیادی در این زمینه کار کردند و نتایج فراوانی بدست آوردند. ما با معرفی و تعمیم زیر مدول های قویا اول و مدولهای شبه ارزیاب برخی نتایج جالب برای آنها بدست آورده ایم. سرانجام شرط لازم و کافی برای برقراری این خاصیت معروف که رادیکال اشتراک دو زیر مدول با اشتراک رادیکال آنها برابر باشد را برای مدولهای آزاد از مرتبه دو، روی دامنه های ایده آل اصلی بدست آورده ایم.

که راجع به جواب (n.mccoy) حلقههای جابجایی را معرفی کرده وپس از بررسی رابطه آن با تعریف رتبه یک ماتریس در جبر خطی کلاس یک، قضیه است، را بیان میکنیم. ax = دستگاه معادلات همگن 0 3، به بیان واثبات قضیه کیلی-همیلتون پرداخته و نشان میدهیم این قضیه برای ماتریسها روی حلقههای جابجایی نیز معتبر است. در پایان فصل، فرم - در بخش 1 نرمال اسمیت یک ماتریس را در حد وسیعی تشریح میکنیم تا اهمیت این موضوع را، در ماتریسها روی حلقههای جابجایی برجستهتر سازیم . در فصل دوم، به ارائه شرایطی میپردازیم که در صورت احراز این شرایط، قطری پذیر بودن یک ماتریس، امکان پذیر خواهد بود. مشابه روند موجود در جبر خطی کلاسیک در این فصل نیز ابتدا تعاریف مقدار ویژه، بردار ویژه و فضای ویژه را بیان میکنیم. است. پایان بخش این فصل ارائه الگوریتمی است ( d فضای ویژه مربوط به مقدار ویژه ) e(d) گستردهترین مبحث این قسمت، بررسی آزاد بودن زیر مدولهای که روند قطری کردن یک ماتریس را بیان میکند. در فصل سوم نیز بحث قطری پذیری را از زاویه چند جملهای مشخصه یک ماتریس و ماتریس همراه مربوط به آن دنبال کرده و در پایان نشان می دهیم که اگر k یک pid باشد ، ) k ( m a n n× ? و ?= ? = ? ? n k det (ix a) (x k ) 1 قطری a آنگاه ماتریس (i, j = 1,2,...,n)i ? j,(?i ? ? j ) ?u(k) و ?k ?k که متشابه است. ،det(ix ?a) پذیر بوده و با ماتریس همراه چند جملهای عنصری یکه است به سادگی نتیجه میشود که قضیه فوق تعمیم مشابه آن، در جبر k از آنجا که در جبر خطی کلاسیک تفاضل هر دو عضو متفاوت از میدان خطی کلاسیک است.

r حلقه دلخواه و یکدار است. فرض کنید ،(prim, (r) ، max,(r) ، spec(r) ) spec,(r) مجموعه همه ایده¬آل¬های اول راست(اول چپ، بیشین راست، اولیه راست) از r و ur(er)={pϵ spec r(r) | e ∉ p} باشد. همچنین فرض کنید a=u _(peprim,(r) ) specr^p(r) باشد، جایی که specrp(r) ={qϵ spec r(r) |(r/q)r ḻ =p} . در این پایان¬نامه ما به بررسی ارتباط برخی خواص حلقه و شرایط توپولوژیک روی (spec r(r و خواص توپولوژی زاریسکی ضعیف روی a خواهیم پرداخت. حلقه r را آبلی نامیم هرگاه همه عناصر خودتوان آن مرکزی باشند و آن را دو- اول¬گون نامیم اگر همه عناصر پوچتوان آن مشمول در رادیکال اول r باشند. نشان خواهیم داد که برای حلقه آبلی r ، یک دوسویی بین مجموعه همه خودتوان¬های r ومجموعه¬های باز- بسته در (spec r(r وجود دارد. همچنین نشان می¬دهیم حلقه¬های π- منظم و پاک را می¬توان با خواص توپولوژیک طیف اول آنها مشخص کرد. نتایج زیر برای حلقه r بدست می¬آید: الف) هر ایده¬آل بیشین r دوطرفه است اگروتنهااگر a فضایی با توپولوژی زاریسکی باشد اگروتنهااگر برای هرq، qϵa به عنوان یک ایده¬آل راست در r تحویل ناپذیر باشد. ب) برای هر مجموعه باز- بسته مانند u در (spec r(r ، عنصر خودتوان e در r وجود دارد به قسمی که(u=ur(er . ج) اگر r حلقه آبلی یا دو- اول¬گون باشد، آنگاه برای هر عنصر خودتوان e در r، مجموعه¬ای باز- بسته در (spec r(r است. د) (spec r(r همبند است اگروتنهااگر (spec r(r همبند باشد.

در این پایان نامه، در ابتدا برای مدول ها روی دامنه های پروفر شرایط معادل به دست آورده ایم و خواصی از ددکیند مدول ها روی دامنه های پروفر مشخص کرده ایم. در ادامه برای ددکیند مدول های با تولید متناهی روی حلقه های به طور صحیح بسته شرایط معادل به دست آورده ایم و ددکیند مدول های ضربی را مشخص کرده ایم. گزاره هایی در مورد بعد ددکیند مدول ها بیان کرده ایم. در پایان، قضایای lying over و going down را برای مدول ها ثابت کرده ایم و با این قضایا نتایجی در مورد بعد مدول ها و زیر مدول هایش به دست آورده ایم.

در این پایان نامه , همه حلقه ها جابجایی و یکدار و مدول ها یکانی می باشند .در فصل اول زیرمدول های خودتوان و پوچتوان را معرفی کرده و به مطالعه خواص آنها می پردازیم . در فصل دوم , مدول های (فون نویمان) منظم را که موضوع اصلی این پایان نامه است , معرفی می کنیم .در فصل سوم رادیکال یک زیرمدول از - مدول ضربی و با تولید متناهی را مشخص می کنیم .در فصل چهارم ایده آل سازی از - مدول را تعریف کرده و آن را با نمایش می دهیم .

ابتدا دامنه‏های سازگار را تعریف کرده و پس از معرفی حلقه‏های تقریباً نوتری، به بررسی رابط? بین آنها می‏پردازیم. در ادامه پس از ارائه تعریف ایده‏آل‏های s- متناهی، حلقه‏های s- نوتری را معرفی می‏کنیم. سپس خواص این حلقه‏ها را بررسی کرده و قضایای کوهن و پایه هیلبرت را برای این حلقه‏ها اثبات خواهیم کرد. در پایان پس از معرفی تکواره‏های مرتب و مجموعه‏های آرتینی و کم‏عرض، تعریفی از حلقه سری‏های توانی‏تعمیم‏یافته ارائه کرده و s- نوتری بودن این حلقه‏ها را بررسی خواهیم کرد. سرانجام به بررسی s- نوتری بودن حلقه سری‏های لوران می‏پردازیم.

در این پایان نامه، ابتدا برخی از خواص زیرمدول های معکوس پذیر از مدول های ضربی را ارائه می دهیم. در ادامه به بررسی ایده آل های با تولید نامتناهی در دامنه های ارزیابی و زیرمدول های با تولید نامتناهی در مدول های ضربی، وفادار و تک رشته ای می پردازیم. در پایان چندین ویژگی و مشخصه از مدول های ضربی وفادار، پروفر و ددکیند را بیان خواهیم کرد.

فرض کنید rیک قلمرو صحیح با میدان کسرهای k و r بستار صحیح rدر k باشد. ابتدا ایده آل های قوی و قویا اولیه را به عنوان دو تعمیم از ایده آل قویا اول معرفی کرده و نشان می دهیم این ایده آل ها با هر ایده آل اول از r مقایسه پذیرند. سپس به کمک ایده آل های قویا اولیه، دامنه های تقریبا شبه ارزیابی (apvds) را تعریف می کنیم. ویژگی های حلقه r را به عنوان یک apvd بررسی کرده و به ارتباط r با حلقه های بالایی خودش، به خصوص r می پرازیم. همچنین به ارتباط ایده آل های قوی و قویا اولیه در دامنه های مساعد اشاره خواهیم کرد. در ادامه ایده آل های شبه قویا اول را تعریف کرده و سپسبه کمک این ایده آل ها، یک کلاس جدید از قلمروهای صحیح موضعی به نام دامنه های شبه تقریبا ارزیابی (pavds) را معرفی می کنیم. همچنین، در ضمن بررسی ویژگی های pavdها، ارتباط آنها را با دامنه های ارزیابی، pvdها، avdها، apvdها و دامنه های موضعی(با ایده آل های اول خطی مرتب) مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان pavdهای d+m- ساختار را مشخص کرده و به چگونگی ارتباط حلقه r به عنوان یک pavd با حلقه های بالایی خودش، به خصوص r می پردازیم.

ایده آل ها ی اول نقش مهمی در نظریه حلقه های جابجایی ایفا می کنند. در این رساله به تعمیم مفاهیم ایده آل ها و زیرمدول های اول می پردازیم و به بررسی بعضی حلقه ها ( مدول ها) می پردازیم که هر ایده آل (زیرمدول) آنها با تعاریف جدید اول هستند.

در این پایان نامه، دو تعمیم از ایده آل های اول را مطالعه و بررسی می کنیم. فرض کنید r حلقه ای جابجایی، یکدار و ناصفر بوده و n عدد صحیح مثبتی باشد. ایده آل سره ی i از r را یک ایده آل n- جاذب نامند هرگاه برای هر x1,…,xn+1 متعلق به r ، اگر x1…xn+1 متعلق به i باشد آن گاه حاصل ضرب n تا از xi ها بهi تعلق داشته باشد. i را یک ایده آل قویاً n- جاذب نامند هرگاه برای هرn+1 ایده آل i1,…,in+1 از r ، اگر i1…in+1 زیر مجموعه i باشد آن گاه حاصل ضرب n تا از iiها مشمول در i باشد. خصوصیات ایده آل های n- جاذب و قویاً n- جاذب را بررسی کرده و این که آیا این دو مفهوم یکی هستند را به عنوان یک حدس بیان خواهیم کرد. پایداری مفهوم n- جاذب بودن را نسبت به ساختار های گوناگون در نظریه ی حلقه ها از قبیل موضعی سازی، حلقه ی کسرها و... مورد بررسی قرار داده و ایده آل های n- جاذب را در چندین رده از حلقه های جابجایی مطالعه می کنیم. نشان می دهیم در یک حلقه ی نوتری هر ایده آل سره، به ازای عدد صحیح مثبتی مانند n ، n- جاذب است. هم چنین در یک دامنه ی پروفر، یک ایده آل n- جاذب است برای بعضی n، اگر و تنها اگر حاصل ضربی از ایده آل های اول باشد. کلمات کلیدی: ایده آل 2- جاذب، ایده آل n- جاذب ، دامنه پروفر، ایده آل قویاً n- جاذب.

در این پایان نامه همه حلقه ها جابجایی و یکدار و همه مدول ها یکانی هستند. ابتدا مدول های حذفی را معرفی کرده و توصیفی از این مدول ها را ارائه خواهیم کرد. سپس به کمک این توصیف، یک شرط لازم و کافی را برای اینکه جمع و اشتراک یک خانواده از مدول های حذفی‏، حذفی باشد بیان خواهیم کرد. در ادامه ضمن تعریف زیر مدول اصل اتصال‏، به پاره ای از خصوصیات این زیر مدول ها اشاره می کنیم. در پایان به کمک روش ایده آل سازی‏، تعدادی از سوالات پیرامون مدول های نیم حذفی (ضعیف) و اصل نیم اتصال را به حالت ایده آل ها تقلیل خواهیم داد.‎

مفهوم ایده آل اولیه به چندین صورت به حلقه های ناجابجایی تعمیم داده شده است. این تعمیم ها تحت عنوان ایده آل های اولیه (چپ و راست) تعمیم یافته، مطرح می شوند. در این پایان نامه، ابتدا به مطالعه حلقه ها و ایده آل های اولیه تعمیم یافته می پردازیم، که شرط زنجیر صعودی ‎(a.c.c)‎ روی ایده آل ها در این راستا نقش مهمی را داراست. همچنین عناصر خودتوان نیم مرکزی نیز در این مطالعه، مفید می باشند. در ادامه مفهوم حلقه های کاملاً k-اولیه را معرفی کرده و مثال های متعددی از این حلقه ها را ارائه می دهیم. در ضمن حلقه هایی که همه ایده آل های ناصفر آنها،n-اولیه (n ? k)می باشند را مطالعه خواهیم کرد.

مطالعه و بررسی طیف ایده آل های اول کمین یک حلقه جابجایی و یکدار ، ما را قادر می سازد که پاره ای از خصوصیات توسیع های جالب توجه (مانند (شبه) توسیع صلب، (شبه) r-توسیع، (شبه) *r- توسیع و ...) ، یک حلقه را مشخص نمائیم. در این پایان نامه پاره ای از خصوصیات این توسیع ها ، توسط یک همسانریختی القا شده به وسیله توپولوژی زاریسکی و توپولوژی معکوس روی طیف ایده آل های اول کمین ، را ارائه خواهیم کرد. همچنین ارتباط این توسیع ها ، را نیز مورد مطالعه و بررسی قرار خواهیم داد.

چکیده در این پایان نامه، ابتدا زیرمدول های اول -r مدول ‎ ‏را که ‎ rیک حلقه جابه جایی و یکدار دلخواه است، کاملاً مشخص خواهیم کرد. همچنین تجزیه های اولیه کمین از زیرمدول های ‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه ثابت می کنیم اگر ‎r‎ یک دامنه پروفر باشد، آنگاه r‎- مدول ‎ در فرمول رادیکال صدق خواهد کرد. سپس ضمن مشخص کردن رادیکال زیرمدول های ‎ ‎، نشان می دهیم که اگر‎r‎ یک حلقه حسابی باشد، آنگاه ‎ در فرمول رادیکال صادق است. در پایان ضمن مطالعه مدول های ثانویه، ثابت می کنیم که مدول های نمایش پذیر روی حلقه های جابه جایی و یکدار نیز در فرمول رادیکال صادق خواهند بود.

ابتدا گراف مقسوم علیه‏های صفر برای ضرب مستقیم متناهی از حلقه‏های متناهی توصیف می کنیم و سپس به کمک ایده آل‏های n-اول بیشین از ایده‏آل(0)به بررسی مسطح بودن گراف مقسوم علیه‏های صفر می پردازیم

شرایط لازم و کافی برای آنکه spec (m) یک فضای نوتری باشد را ارائه خواهیم کرد.نشان می دهیم مدول های لاسکرین و مدول های هموار وفادار روی حلقه های لاسکرین دارای طیف نوتری هستند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

گابریل [1962]، مجموعه همه صافیهای توپولوژیکی و ضریب بین صافیها را در چنین مجموعه ای تعریف کرد و یک نتاظر یک به یک نیم گروهی بین صافیها و رادیگالهای تابدار که همان پیش -رادیکالهای خوتوان هستند برقرار کرد. برای همین منظور صافیهای خودتوان را صافیهای گابریل نامیدند. این رساله براساس مقاله جان ای. وان دی برگ john e. van den berg با عنوان "زمانی که ضرب صافیهای توپولوژیکی جابجایی است "، تدوین شده است . در فصل اول مفهوم صافیهای توپولوژیکی و بعضی از خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم حلقه های به طور کامل کراندار نوتری راست که صافیهای آنهاخاصیت جابجایی دارد در حدس ژاکوبسن صدق می کند. در فصل سوم به بررسی خواص حلقه های جابجایی که صافیهای آنها نیز خاصیت جابجایی دارد می پردازیم.

در این رساله ابتدا به بیان قضیه اجتناب از ایده الهای اول پرداخته و سپس حالت کلی این قضیه که بجای ایده الهای اول، ایده الهای دلخواهی قرار می گیرند، را مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه با تعریف زیرمدول اول، این قضیه را به زیرمدولهای اول تعمیم می دهیم. در پایان زیرمجموعه های ضربی اشباع شده از حلقه r و زیرمجموعه های s بسته اشباع شده از r -مدول m را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این کار، هم - جبرهای هم - اول را تعریف و تعدادی از خاصیتهای آنها را که ایده آنها از ایده الهای اول در حلقه ها گرفته می شوند مورد بررسی قرار می دهیم. یک توپولوژی روی مجموعه هم - جبرهای هم - اول نیز تعریف می شود و پاره ای از خاصیتهای آنها ثابت می شوند. نشان داده می شود تعدادی از خاصیتها وجود دارند که در این فضای توپولوژیک صدق می کنند ولی در توپولوژی زاریسکی روی ایده الهای اول صادق نیستند.

در فصل اول به بیان تعریف زیر مدولهای اول، بیشین و -m رادیکالها پرداخته و سپس خاصیتهای بنیادی از -m رادیکالها را بررسی کرده و قضایایی را در این رابطه ثابت می کنیم. در فصل دوم -m رادیکالها را در مورد مدولهای ضربی هموار و مدولهای با تولید متناهی روی حلقه های لاسکرین، مورد بحث قرار می دهیم. در فصل سوم به بررسی خصوصیاتی از رادیکال اول مدولها روی حلقه های جابجایی پرداخته و سپس در ادامه نشان می دهیم که دامنه های ددکیند در فرمول رادیکال صدق می کنند . همچنین شرایط معادلی برای صدق کردن یک مدول در فرمول رادیکال را بررسی کرده و نشان خواهیم داد که -r مدولهایی وجود دارند که در فرمول رادیکال صدق نمی کنند.

در این رساله ابتدا مدولهای ضربی را روی حلقه جابجایی و یکدار r تعریف می کنیم و پس از شناخت مقدماتی مدولهای ضربی به بررسی آنها در حالت دوری یا با تولید متناهی می پردازیم. ثابت می کنیم هر مدول ضربی آرنینی، یک مدول دوری است و نشان می دهیم اگر حلقه r در شرط زنجیر صعودی روی ایده آلهای نیم اول صدق کند آنگاه هر -r مدول ضربی، با تولید متناهی است . در ادامه ایده آلها و زیر مدولهای وارونپذیر را تعریف می کنیم و بعضی از خواص ایده آلهای وارونپذیر یک حلقه را به زیر مدولهای وارونپذیر یک مدول تعمیم خواهیم داد. همچنین مدول ددکیند را تعریف می کنیم و نشان می دهیم یک -r مدول ضربی باوفا، ددکیند است اگر و تنها اگر r یک دامنه ددکیند باشد. سپس ثابت می کنیم اگر r حلقه ای نیم اول باشد آنگاه حلقه -r درونریختی های یک -d مدول دوگانپذیر، یک دامنه صحیح جابجایی است . در پایان با استفاده از مفهوم وارونپذیری در مدولها به شرایطی برای وجود یک تکریختی در hom(a,b) دست می یابیم که در آن a و b، -r مدول می باشند. همچنین با این فرض که a یک -r مدول ضربی باوفاست نشان می دهیم اگر a یک دامنه ددکیند باشد آنگاه a با یک ایده آل وارونپذیر در r یکریخت است .

در این پایان نامه ، ابتدا مجموعه مولدهای حلقه درون ریختی های بعضی از ‏‎r‎‏- مدولها بدست می آید.

این رساله شامل دو فصل می باشد. ابتدا مفهوم بعد کرول حلقه یا مدول و بعد مدول با توجه به زیرمدولهای مشخص معرفی شده و برای بعضی مدولهای با تولید متناهی مانند مدولهای ضربی، ارتباط بین این دو بعد را بدست می آوریم. هدف اساسی فصل دوم، تعمیم مفهوم شرط رادیکال می باشد. بهمین منظور شرایطی را فراهم کرده که این مفهوم از حالتهای خاص (حلقه ‏‎(ufd)‎‏ با بعد کرول یک) به حلقه ها و مدولهای کلی تر، تعمیم داده شود. در این راستا ثابت می کنیم حلقه های آرتینی در شرط رادیکال صدق کرده و در پایان شرایط لازم و کافی برای حلقه های نوتری که در شرط رادیکال صدق می کنند، را بیان و اثبات می نماییم.

یکی از قضایای مهم و اساسی در نظریه حلقه ها قضیه ایده آلهای اصلی می باشد که بیان کننده مطلب زیر است:فرض کنید ‏‎r‎‏ یک حلقه نوتری باشد. اگر ‏‎p‎‏ ایده آل اول ‏‎p‎‏ و مینیمال روی ایده آلهای اصلی باشد، آنگاه ارتفاع ‏‎p‎‏ حداکثر یک است. از آنجایی که هر حلقه ‏‎r‎‏ یک ‏‎-r‎‏ مدول و هر ایده آل (اول) آن یک ‏‎-r‎‏ زیرمدول (اول) است، این سوال مطرح می شود که آیا مشابه این قضیه در مورد ‏‎-r‎‏ مدولها نیز برقرار است؟ در این پایان نامه سعی می شود که به این سوال پاسخ داده شود.