در این پایان نامه نگاشت های خطی پوشا روی (b(h که حافظ وارون پذیری تعمیم یافته هستند و نیز نگاشت های خطی پوشاحافظ عملگرهای فردهلم (نیمه فردهلم)را بررسی می کنیم به ویژه جوابی برای سوال مختا می یابیم و نشان می دهیم یک فضای باناخ x و یک نگاشت خطی یکانی دوسویی f روی (b(h حافظ وارون پذیری تعمیم یافته در دوسو وجود دارد به طوری که ایده آل همه عملگرهای فشرده روی x تحت f پایا نیست.بعلاوه نشان می دهیم که همریختی های جردن پیوسته تنها نگاشت های خطی یکانی بین دو جبرباناخ یکدار هستند که وارون پذیری تعمیم یافته را اکیدا حفظ می کنند.

در فصل اول به معرفی مفاهیمی که در سراسر ‎‎این پایان نامه مورد نیاز است، خواهیم پرداخت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب معتبر گردآوری شده است. در فصل دوم با استفاده از روش ها‎ی‎ تغییراتی، در این فصل عدم وجود و ‎همچنین‎ وجود جواب ها‎ی‎ ضعیف نابدیهی را برا‎ی‎ دستگاه بیضو‎ی‎ شبه خطی مطالعه می کنیم: ‎که در آن ‎$omega$‎ یک دامنه کراندار شامل مبدا با مرز همواراست، توابع ‎‎‎ ‎‎پتانسیل ها‎ی‎ ناهمگن می باشند و "لامبدا" و "مو" ‎ ‎ پارامتر می باشند. ‎‎‎‎دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ کاربردها‎ی‎ عملی زیاد‎ی‎ دارند. به عنوان مثال آنها می توانند واکنش شیمیایی تکثیر را توصیف کنند که توسط حبوبات تحت دما‎ی‎ ثابت یا متغیر، تسریع می شود‎.‎‎ ‎%‎همچنین یک ایستگاه پایا از دستگاه ها‎ی‎ دینامیکی توسط سیستم ها‎ی‎ واکنش-انتشار تعیین می شوند. در سال ها‎ی‎ اخیر، وجود و چندگانگی جواب ها‎ی‎ دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ به طور وسیعی مورد مطالعه قرار گرفته است.در مرجع‎‎،‎‎‎کاستا و دیگر نویسندگان مسائل جایگشتی زیر مربعی از دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ نیم خطی را با روش ها‎ی‎ مینیمم- ماکزیمم مورد بررسی قرار دادند.در مراجع نویسندگان وجود و چندگانگی جواب ها را برا‎ی‎ دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ نیم خطی در حالاتی مطالعه کردند که غیر خطی ها ‎‎در حالت تشدید ، بدون تشدید یا نزدیک به تشدید می باشند. در مرجع دجلیت و دیگر نویسندگان، رده ا‎ی‎ از دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ غیر تغییراتی را با فرضیات زیر خطی و فوق خطی رو‎ی‎ غیر خطی ها مطالعه کردند و وجود جواب را با استفاده از قضایا‎ی‎ نقطه ثابت نشان دادند. دستگاه ها‎ی‎ بیضو‎ی‎ با پتانسیل ها‎ی‎ منفرد هم در مقالات زیاد‎ی‎ یافت می شوند. به عنوان مثال در مراجعی ، حالت نامنفرد بحرانی، مورد توجه نویسندگان بوده است.

. در فصل اول، تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی را بیان می کنیم. فصل دوم، شامل چهار بخش می باشد. در بخش اول، نگاشت های خطی حافظ خودتوانی عملگرها، در بخش دوم، نگاشت های خطی حافظ خودتوانی ضرب جردن عملگرها، در بخش سوم، نگاشت هایی که توأماً حافظ خودتوانی ضرب جردن و صفر بودن ضرب جردن عملگرها هستند و سرانجام در بخش چهارم، نگاشت هایی که خودتوانی جمع و تفاضل عملگرها را حفظ می کنند را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل دوم، فضاهایی که نگاشت ها روی آن ها بررسی می شوند، جبرهای استاندارد، جبرهای ماتریس ها و جبر شامل تمام عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت هستند.. فصل سوم، شامل دو بخش است. در بخش اول، فرم نگاشت های حافظ طیف ضرب های خاصی از عملگرها روی مجموعه تمام عملگرهای خودالحاق روی یک فضای هیلبرت را به دست می آوریم و در بخش دوم، فرم این نگاشت ها را روی کل فضا به دست می آوریم. فصل چهارم، شامل دو بخش می باشد. در بخش اول، فرم نگاشت هایی که به طور کامل برگشت را حفظ می کنند، تعیین می کنیم و در بخش دوم، فرم نگاشت هایی که حافظ ضرب ریشه های یک چندجمله ای هستند را به دست می آوریم.

ابتدا تعاریف و مفاهیمی را که در این رساله مورد استفاده قرار می گیرد را بیان می کنیم. سپس به معرفی فضاهایی می پردازیم که با آن ها سر و کار خواهیم داشت. و‎‎‎‎‎ در پایان به معرفی چند قضیه و اصل می پردازیم. رده ای از دستگاه های بیضوی شبه خطی تباهیده ‎egin{equation*}‎ ‎left{egin{array}{ll}‎ -‎div (h_1 (x)| abla u|^{p-2} abla u )=lambda a(x)|u|^{p-2}u‎ +‎lambda b(x)|u|^{alpha-1}|v|^{eta+1}u+f_u(x,u,v)‎ ‎‎ -‎div (h_2 (x)| abla v|^{q-2} abla v)=lambda d(x)|v|^{q-2}v‎ +‎lambda b(x)|u|^{alpha+1}|v|^{eta-1}v+f_v(x,u,v)‎ ‎end{array} ight‎. ‎end{equation*}‎ با شرط مرزی دیریکله در دو حالت مختلف ، بر اساس توان های ‎$ heta$‎, ‎$delta$‎، ‎egin{equation*}‎ ‎frac{ heta+1}{p}+frac{delta+1}{q}<1;‎ ‎end{equation*}‎ ‎egin{equation*}‎ frac{ heta+1}{p}+frac{delta+1}{q}>1~~~~~ extrm{و}~~~~frac{ heta+1}{p^*}+frac{delta+1}{q^*}<1. ‎end{equation*}‎ مورد بررسی قرار می دهیم. از روش های تغییراتی برای به دست آوردن جواب استفاده می کنیم. نتایج وجودی و چندگانگی برای دستگاه های ‎$(p,q)$‎ - لاپلاسین ‎egin{equation}‎ ‎left{egin{array}{ll}‎ ‎delta_pu=|u|^{p-2}u-f_u(x,u,v)+h_1(x) ‎ ‎delta_qv=|v|^{q-2}u-f_v(x,u,v)+h_2(x) ‎ ‎end{array} ight‎. ‎end{equation}‎ با شرط مرزی غیرخطی ‎egin{equation*}| abla u|^{p-2}frac{partial u}{partial u}=lambda a(x)|u|^{p-2}u‎, ~‎~~~| abla v|^{q-2}frac{partial v}{partial u}=mu‎ ‎b(x)|v|^{q-2}v‎ ‎end{equation*}‎ با استفاده از اصل تغییراتی ایکلند، قضیه مسیر کوهی و قضیه نقطه ی بحرانی به دست می آید. مساله مقدار مرزی ‎egin{equation}label{1.1}‎ ‎left{egin{array}{ll}‎ -‎delta_p u(x)+lambda|u(x)|^{p-2}u(x)=f(x,u(x)) & xin omega‎ ‎u(x) = 0 & xin partial omega‎ ‎end{array} ight‎. ‎end{equation}‎ که ‎$delta_p$‎ عملگر ‎p-‎لاپلاسین و ‎$omega in c^{0,1}$‎ یک ناحیه کراندار در ‎$r^n$‎ است.

در این پایان نامه ساختارهایی از تبدیلات را روی گروه یکانی روی یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر با بعد نامتناهی مختلط داده شده بررسی می کنیم به طوریکه حافظ خواص جبری از جمله ضرب سه گانه جردن، ضرب سه گانه معکوس جردن، ضرب معمولی عملگرها و جابه جاگر ضربی هستند. رویکرد اساسی ما برای بدست آوردن این نتایج استفاده از تبدیلات حافظ جابه جایی روی گروه یکانی است.

مساله ی حفظ یک ویژگی خاص در اغلب قسمت های ریاضی دیده می شود در واقع یکی از مهمترین زمینه های تحقیقاتی در نظریه عملگرها بشمار می رود. نگاشت های نگه دارنده اولین بار توسط فر بنیوس مورد بررسی قرار گفت، او ثابت کرد که نگاشت خطی و حافظ دترمینان روی فضای ماتریس ها به فرم استاندارد است. در ادامه ی کار او مارکوس و مویلز ثابت کردند که اگر نگاشت خطی و حافظ طیف باشد به همین فرم است. باشد که در شرط n×n نگاشتی پیوسته روی جبر باناخ ماتریس های t فرض کنید صادق است.t(0) = 0 هدف از این پایان نامه این است که فرم نگاشت را تعیین کنیم در حالی که حافظ طیف و است و همچنین نشان می دهیم که می توانیم شرط پیوستگی را حذف کرد اگر ?(t(a) – t(b)) ? ?(a – b) باشد و دردو حالت یاد شده نشان می دهیم که نگاشت به صورت زیر است:? (a – b) ? ?(t(a) – t(b)) t(a) = uau-1 , t(a) = uatu-1 ترانهاده ی ماتریس at متریسی وارون پذیر است.u

فرض کنید (b(x جبرتمامعملگرهایخطی وکرانداررویفضایباناخمختلط x و? نگاشت خطی و پوشا روی (b(x کهحافظخودتوانی غ?رصفرضرب جردنعملگرهاباشد. در دوحالتز?رموضوعموردنظرراتعق?ب میکن?م: اول: فرضکن?د? نگاشت خطی و پوشاکهحافظخودتوانی غ?رصفرضرب جردنعملگرهاروی mn بابعدحداقل3باشد. دوم:فرضکن?د x فضایباناخمختلط با بعد نامتناهی و ? نگاشت خطی و پوشا کهحافظخودتوانی غ?رصفرضرب جردنعملگرهاروی (b(x باشد.

فرض کنید algn یک جبر آشیانه ای مربوط به آشیانه n روی فضای هیلبرت ( مختلط یا حقیقی) بالشد.گوییم algn یک مشخصه ضرب صفر است اگر برای هر فضای خطی v و هر نگاشت دوخطی ? : algn * algn - v ، یک نگاشت خطی t وجود داشته باشد که در شرایط زیر صدق کند: ?(a;b) = t(ab برای هر a و b عضو algn. همچنین نشان می دهیم اگر به جای ضرب معمولی، ضرب جردن یا لی را جایگزین کنیم آنگاه algn یک مشخصه ضرب صفر جردن یا لی است.

این پایان ?? البعد باشد. در اینصورت، هدفاساس ?? فضای هیلبرتمتناه ?? ی h فرضکنید که به طوری که h در فضای ?? ال ?? رهای چ ?? نامه این بوده که نشان دهد هر تبدیل روی فضای تمام عمل نمایش h در فضای ?? ان ?? یا غیر ی ?? ان ?? ر ی ?? عمل ?? توان به وسیله ی ?? حافظ آنتروپی نسبی باشد، را م داد.

عملگرهای کراندار طیفی روی *c-جبرهای ساده و جبرهای فون نویمان و *c-جبرهای ساده با رتبه حقیقی صفر بروریختی جردن می باشد.