در این پایان نامه به بررسی سیستم های ریشه ی متناهی موضعی در یک فضای برداری حقیقی می پردازیم. هدف این پایان نامه توسعه ی مبانی نظری سیستم های ریشه ی متناهی موضعی است و در ضمن، جنبه ی رسته ای سیستم های ریشه که به نظر می رسد تاکنون نادیده گرفته شده است را بیان می کنیم. در این پایان نامه به مطالعه ی حد مستقیم سیستم های ریشه ی متناهی موضعی می پردازیم. هم چنین، خواص تابعگونی و نمایش مزدوجی را برای گروه وایل نظیر یک سیستم ریشه ی متناهی موضعی بیان و اثبات می کنیم. در پایان، دیاگرام های دینکین نظیر سیستم های ریشه ی متناهی موضعی را دسته بندی می کنیم

در این پایان نامه ابتدا به معرفی جبرهای لی -?bc?_nمدرج می پردازیم. یک جبر لی -?bc?_nمدرج lدارای یک زیرجبر ساده از بعد متناهی است. نشان می دهیم l به عنوان یک g -مدول کاملاٌ تحویل پذیر است و هر موْلفه ی تحویل ناپذیر را به طور کامل مشخص می کنیم. سپس با استفاده از نمایش های فرمیونیک، یک کلاس از جبرهای لی ?bc?_n- مدرج مختصاتی شده با چنبره های کوانتومی که توسیع مرکزی نابدیهی دارند، به دست می آورِیم .

در این پایان نامه زیرجبر نقاط ثابت یک جبر لی مدرج-ریشه، متناظر با کلاس معینی از خود ریختی های با مرتبه ی متناهی از آن را مورد مطالعه قرار می دهیم. می دانیم که هسته ی بدون مرکز جبرهای لی آفین توسیعی، یا به طور معادل، چنبره های لی بدون مرکز تحویل ناپذیر، مثال هایی از جبرهای لی مدرج-ریشه هستند. لذا بررسی ساختار زیر جبر نقاط ثابت یک جبر لی مدرج-ریشه، متناظر با کلاس معینی از خودریختی های آن، تعمیمی از پژوهش های اخیر می باشد که در زمینه ی زیرجبر نقاط ثابت یک چنبره ی لی، متناظر با کلاس معینی از خودریختی های با مرتبه ی متناهی آن انجام گرفته است.

در این پایان نامه به بررسی کلاسی از سیستم های ریشه که از توسیع سیستم های ریشه ی متناهی تحویل ناپذیر، توسط گروه های آبلی عاری از تاب، به دست می آید، می پردازیم. اگر w گروه وایل سیستم ریشه ی r، توسیع یافته توسط گروه آبلی g و u گروه با نمایش مزدوجی نظیر به سیستم ریشه ی r باشد، نشان می دهیم که هسته ی همریختی طبیعی w longrightarrow u با هسته ی همریختی u^ab longrightarrow w^ab یکریخت است، که در آن u^ab و w^ab، به ترتیب آبلی شده های u و w هستند.

در این پایان نامه به بررسی دومین گروه همولوژی انواع خاصی از جبر ها می پردازیم. به طور خلاصه می توان گفت، اگر l را یک جبر لی و a را یک جبر شرکت پذیر، جابه جایی و یکدار روی میدان k از مشخصه ی مخالف 2 در نظر بگیریم، l? a یک جبرلی حلقوی است و ما به دنبال محاسبه ی دومین گروه همولوژی آن هستیم. در ادامه اگر a و b جبرهای شرکت پذیر و یک دار باشند، به بررسی دومین گروه همولوژی جبر لی ? (a?b)?^((-)) می پردازیم که در آن منظور از ? (a?b)?^((-))جبر لی تعریف شده روی جبر شرکت پذیر a?b، با عمل براکت به صورت [x, y]=xy - yx، می باشد که در آن x و y در a?b هستند. از نتایج مهم و جالب این پایان نامه می توان به کاربرد مطلب اخیر اشاره کرد. در واقع حالتی که b جبر ماتریسی m_n(k) باشد را در نظر می گیریم و h_2(?gl?_n(a)) و h_2(?sl?_n(a)) را محاسبه می کنیم.

در این پایان نامه به بررسی گروه های بازتابی آفین توسیعی می پردازیم. برای این منظور ابتدا بازتاب ها و فضا های آفین را مورد بررسی قرار داده و نتایج آن ها را به بازتاب های آفین گسترش می دهیم. با ایجاد یک توسیع مرکزی از گروه ها و گسترش آن به یک توسیع از فضاهای آفین روی یک میدان با مشخصه مخالف ? به وسیله بازتاب ها پرداخته و خواص آن را بررسی می کنیم. به مطالعه گروه کاکستر تولید شده توسط این بازتاب ها پرداخته و نتایج جالبی در مورد گروه وایل متناظر با آن ها به دست خواهد آمد.

یکی از شاخه های جدید در ریاضیات مدرن، جبر لی است. نخستین گام در زمینه ی جبر لی در قرن ‎19‎ توسط ریاضیدانی نروژی به نام ماریوس سفوس لی برداشته شد. بررسی معادلات دیفرانسیل جزیی، او را به سمت شاخه ای از ریاضیات سوق داد، که امروزه جبر لی نامیده می شود. در اواخر قرن ‎19‎ فردریک انگل همکاری خود را با لی آغاز کرد. ریاضیدانانی نظیر کلینگ، کارتان، وایل، کز، مودی و ...‎ کارهای ارزشمندی در این زمینه انجام داده اند. بیش از یک دهه پیش، جبرهای لی ساده ی به طور موضعی متناهی، از بعد نامتناهی، مورد مطالعه قرار گرفته و طبقه بندی شدند‎. یکی از نتایج این طبقه بندی مطالعه ی جبرهای لی ‎gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ بود. از جمله نتایج ارزشمند، در زمینه ی مطالعه ی این چهار جبر لی نتایجی در مورد زیرجبرهای کارتان و بورل این جبرهای لی می‎باشد‎. هدف اصلی این پایان نامه توصیف زیرجبرهای لی نیم ساده ی موضعی، از جبرهای لی ‎gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎، با تقریب یکریختی است. نتایج، حاصل گسترش نتایج بیان شده در مقالات ‎[13]‎ و ‎[14]‎ به جبرهای لی به طور موضعی متناهی از بعد نامتناهی است. این پایان نامه که بر اساس مرجع ‎[12] تدوین شده است، مشتمل بر چهار فصل می باشد. فصل ‎1‎ را در شش بخش تنظیم کرده ایم. در این فصل، برخی تعاریف و نکات مقدماتی را که در ضمن این پایان نامه به آن ها نیاز خواهیم داشت بیان می کنیم. فصل ‎2‎ شامل چهار بخش است. در بخش اول برخی مطالب مقدماتی تر آورده شده است. دو بخش بعد به معرفی جبرهای لی ‎ gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ می پردازد. در بخش ‎2‎، شکل ماتریسی این جبرهای لی را بیان می کنیم؛ در حالی که در بخش ‎3‎، این جبرهای لی را با استفاده از فضای دوگان معرفی خواهیم کرد. در بخش آخر این فصل، به تعریف یک جبر لی به طور موضعی متناهی پرداخته و خواهیم دید که جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ به طور موضعی متناهی هستند. فصل سوم، که مهمترین فصل این پایان نا مه است، نیز شامل چهار بخش می باشد. در بخش اول مفهوم حد مستقیم یک دستگاه مستقیم از جبرهای لی بیان می شود. مهمترین گزاره این بخش نشان می دهد، جمع مستقیم حد مستقیم یک خانواده از دستگاه های مستقیم، تحت یکریختی، با حد مستقیم جمع مستقیم آن خانواده برابر است. در بخش دوم این فصل، ابتدا با تعریف یک اشباع استاندارد آشنا می شویم. در ادامه، برای هر کدام از جبرهای لی ‎ gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ یک اشباع استاندارد معرفی خواهیم کرد. در بخش سوم با مفهوم شاخص برای یک جبر لی-همریختی از جبرهای لی ساده ی با بعد متناهی آشنا می شویم. بخش آخر شامل اصلی ترین نتیجه ی این پایان نامه است. در این بخش ابتدا با مفهوم یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی آشنا می شویم. سپس با بیان قضیه ای به توصیف زیرجبرهای لی نیم ساده ی موضعی جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ می پردازیم. این توصیف بر اساس یافتن یک شرط معادل برای تعریف یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ است. بنابر این قضیه یک شرط معادل برای زیرجبرهای لی به طور موضعی نیم ساده ی ‎ s از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ بیان می شود. در فصل ‎4‎، با در نظر گرفتن هر یک از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ به بررسی ساختار مدول طبیعی v‎ و هم طبیعی ‎ v*این جبرها، به عنوان مدول هایی از زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی s‎ از g‎ خواهیم پرداخت. می دانیم، قضیه ی وایل بیان می کند که هر مدول با بعد متناهی از یک جبر لی نیم ساده ی از بعد متناهی به صورت جمع مستقیمی از زیرمدول های تحویل ناپذیر، نوشته می شود. با توجه به این که برای یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی ‎s از gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎، ‎ v و ‎v*‎، s‎-مدول های از بعد نامتناهی هستند، لذا تجزیه ی آن ها به صورت جمع مستقیم زیرمدول های تحویل ناپذیر، نیاز به بررسی دارد که در این فصل به آن پرداخته می شود.

در این پایان نامه جوانب مختلف سیستمهای انعکاسی آفین را در نظر می گیریم. ابندا یک روش ترکیبیاتی و محاسباتی برای طبقه بندی سیستمهای ریشه آفین توسیع یافته از نوع کاهش یافته عرضه می کنیم. با استفاده از این روش، سیستمهای آفین توسیع یافته از نوع کاهش یافته و پوچی 4 را طبقه بندی می کنیم. سپس برای اولین بار یک نمایش برای گروه وایل و یک نمایش برای گروه وایل هذلولوی نظیر به سیستمهای انعکاسی آفین از نوع a_1 ارائه می کنیم. این نمایشها بلافاصله نشان می دهند که هر دو گروه وایل و گروه وایل هذلولوی دارای مسأله کلمه حل پذیر می باشند. این نمایشها برای گروههای وایل سیستمهای ریشه آفین توسیع یافته و گروههای وایل آفین توسیع یافته از نوع a_1 بسیار شبیه تعریف گروههای کاکستر می باشند. در پایان یک تابع طول برای گروههای وایل سیستمهای ریشه آفین تویسع یافته از نوع a_1 ارائه می دهیم. این تابع طول فقط تعداد مولدها در یک عبارت کاهش یافته ی یک عنصر را محاسبه نمی کند. نشان داده شده است که تابع طول با سیستم ریشه نظیر وابستگی قابل ملاحظه ای دارد. مقادیر این تابع یک تقسیم بندی هندسی سیستم ریشه به دست می دهند.

در این پایان نامه جبرهای چندگانه حلقوی را مورد بررسی قرار می دهیم. ابتدا جبرهای لی کاهنده را تعریف می کنیم و سپس جبرهای لی چندگانه حلقوی پیچشی و غیرپیچشی را معرفی می کنیم. در ادامه توصیفی از ایده آل های این نوع جبرهای لی را ارائه می کنیم. سپس مباحثی از جبرهای جابه جایی که در طبقه بندی مدول های ساده جبرهای چندگانه حلقوی مفید هستند را ذکر می کنیم. در تهایت، مدول های ساده با بعد متناهی از این جبرهای چندگانه حلقوی (پیچشی و غیر پیچشی) و طبقه بندی این مدول ها در حد یکریختی را توضیح می دهیم

در این پایان نامه مفهوم پوشش و پوشش های نازک برای مدول ها معرفی و بررسی می شود. از این مفهوم در ساختن مدول های ساده - مدرج از مدول های ساده (غیرمدرج) استفاده می شود. پس از توضیح مفصل در این مورد‏، پوشش های نازک برای مدول های ساده روی جبرهای شرکت پذیری که توسط گروه های آبلی مدرج شده اند‏، را طبقه بندی می کنیم. همچنین در این پایان نامه توصیف صریحی از پوشش های نازک مدول های شبه متناهی ساده روی جبرهای شرکت پذیر مدرج را بیان می کنیم. در این توصیف از نتایج به دست آمده در نظریه نمایش چنبره کوانتمی سیکلوتومیک استفاده می شود. در انتها کاربردی از نتایج به دست آمده در نظریه نمایش جبرهای لی چندگانه حلقوی را ارائه می کنیم.

فرض می کنیم? یک گروه متناهی باشد که روی طرح ‎x‎ و همچنین جبر لی با بعد متناهی l‎ عمل می کند. جبر تابع پایدار نظیر، یک جبر لی مانند ‎m‎ شامل همریختی های طرح ها از طرح ‎x‎ به جبر لی ‎l‎ می باشد. در این پایان نامه، ضمن معرفی این نوع جبرها، نمایش های تحویل ناپذیر با بعد متناهی آن ها را نیز دسته بندی می کنیم. به ویژه، نشان می دهیم که این گونه نمایش ها، به صورت حاصل ضرب تانسوری یک نمایش ارزیابی و یک نمایش با بعد یک هستند. همچنین شرایطی را بیان می کنیم که تحت آن ها، این نمایش ها برابر نمایش های ارزیابی می باشند؛ به عنوان مثال اگر ‎m‎ کامل باشد، نمایش های تحویل ناپذیر با بعد متناهی ‎m به صورت نمایش های ارزیابی هستند. نتایج این پایان نامه را می توان روی جبرهای چندگانه حلقوی، جبرهای جریان و جبر چهاروجهی اعمال کرد. با انجام این کار نمایش های با بعد متناهی تحویل ناپذیر این جبرها را به سادگی به دست می آوریم.

در این پایان نامه، سیستمهای ریشه ی آفین توسیعی مورد مطالعه قرار می گیرند . هم چنین جبرهای لی آفین توسیعی از نوع تورال معرفی میشوند و ثابت می شود که سیستم ریشه ی یک جبر لی آفین توسیعی از نوع تورال، یک سیستم ریشه ی آفین توسیعی است. به علاوه، سیستمهای ریشه ی آفین توسیعی از نوع bc با پوچی کوچکتر یا مساوی 3 طبقه بندی میشوند.

در این پایان نامه ابرجبرهای لی کلاسیک بنیادی a(m,n) و c(m) را مورد مطالعه قرار می دهیم و سیستم ریشه ی آن ها را بررسی می کنیم. همچنین برای هر ابرجبر لی چندگانه ی حلقوی مدول های ارزیابی را می سازیم. در آخر یک کلاس جدید از مدول های تحویل ناپذیر با بعد متناهی ایجاد می کنیم که تعمیم یافته ی مدول های ارزیابی برای ابرجبرهای چندگانه ی حلقوی از نوع a(m,n) و c(m) هستند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.