در این رساله معادله استورم ـ لیوویل را در نظر می گیریم، که در آن یک پارامتر حقیقی و تابع وزن با مقدار حقیقی با تعداد متناهی صفر از هر مرتبه و یا قطب از مرتبه اول در فاصله باز باشند. این صفرها و قطب ها نقاط برگردان معادله نامیده می شوند. به علاوه، این نقاط برگردان، قطب های مرتبه اول یا دوم تابع را نیز تشکیل می دهند. در این رساله هدف اصلی به دست آوردن جواب مسئله عکس معادله استورم-لیوویل با شرایط یک نقطه برگردان و منفرد به صورت انطباقی با استفاده از فرم حاصلضربی جواب می باشد. ولی هدف های دیگری نیز دنبال شده اند. از جمله آنها، بدست آوردن یک رابطه استقرائی در تعیین فرم مجانبی جواب ها با شرایط نقطه برگردان و منفرد با تعداد دلخواه به صورت انطباقی و همچنین تشریح چند روش برای مسئله عکس، به خصوص روش گره ای می باشد.

در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه کسری را مورد بررسی قرار می دهیم.ابتدا بررسی کلی بر دستگاههای معادلات کسری را ارائه، و نتایجی را برای وجود، یکتایی و پایداری برای دو دسته توافقی و نا توافقی، از دستگاههای معادلات دیفرانسیل خطی از مرتبه کسری، که مرتبه ها عددی بین صفر و یک می باشند، را بیان می کنیم. سپس پایداری دستگاههای معادلات دیفرانسیل n بعدی با تأخیر زمانی را مورد مطالعه قرار می دهیم. با استفاده از تبدیل لاپلاس، معادله مشخصه چنین دستگاههایی با تاخیرات زمانی گوناگون را معرفی می کنیم. ما در میابیم که اگر تمام ریشه های معادله مشخصه دارای قسمت حقیقی منفی باشند، آنگاه نقطه تعادل این دستگاههای خطی در صورت وجود، بطور مجانبی سراسری پایدار است. در نهایت با استفاده از روش تکراری یکنوا و روش جوابهای بالا و پایین وابسته به آن، وجود و یکتایی جواب را برای دستگاههای معادلات دیفرانسیل خطی کسری بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری با سه شرط مقدار اولیه و شرایط مرزی به ترتیب انتگرالی و غیر موضعی مورد مطالعه قرار می گیرد. در اینجا مشتق کسری از نوع ریمان-لیوویل می باشد. در این معادلات از روش جواب های بالا و پایین برای اثبات وجود جواب استفاده کردیم و همچنین با کمک توابعی مانند تابع گرین وتابع کنترلی و استفاده از برخی قضایای نقطه ثابت، همچون قضیه نقطه ثابت شودر و قضیه نقطه ثابت باناخ، برخی نتایج در خصوص وجود جواب این مسائل غیر خطی حاصل می شود.