از یک مدول دلخواه یک حلقه ی جابه جایی می سازیم. و به جای بررسی زیرمدول ها ایده ال های این حلقه را بررسی می کنیم. نشان می دهیم خواص مهمی چون حذفی بودن ضربی بودن معکوس پذیری و ...منتقل میشود.

در دو دهه اخیر مقالات زیادی پیرامون اختصاص دادن یک گراف به یک حلقه ارایه شده است. هدف از معرفی این گرافها بکار گیری یک شیئ ترکیبیاتی برای درک بهتر مفهوم مجرد حلقه هاست. فرض کنید r حلقه ای جابجایی ویکدار باشد. ما در این پایان نامه گرافی را روی این حلقه تعریف می کنیم که رأسهای آن اعضای r هستند و دو رأس متمایز a , b مجاورند اگر و تنها اگر ra+rb=r و این گراف را گراف هم ماکسیمال حلقه r می نامیم. رابطه متناهی بودن r و گراف مورد نظر را بررسی می کنیم و نشان می دهیم عدد رنگی گراف مورد نظر متناهی است اگر و تنها اگر r یک حلقه متناهی باشد. ما زیر گرافی از گراف مورد نظر را بررسی می کنیم که توسط عناصر غیر یکه rتولید می شود و خواص متعددی از این زیرگراف نظیر قطر، عدد خوشه ای، همبندی و گونای آنرا بررسی می کنیم. همچنین ساختار گراف مورد نظر را برای حلقه های ناجابجایی یکدار تعمیم می دهیم.ثابتهای عددی مختلفی نظیر درجه مینیمال، درجه ماکسیمال، همبندی، عدد خوشه ای و عددرنگی را برای گراف تعریف شده برای حلقه ماتریسهای روی یک میدان متناهی بدست می آوریم.

در این پایان نامه تمامی حلقه ها جابه جایی و یکدار هستند.فرض کنیم dحوزه صحیح با میدان خارج قسمتی k باشد بنا به تعریف d حوزه شرایر است اگر به طور صحیح بسته بوده وبرای هر {x,y,z ? d{0 اگر x|yz آنگاه x=rs خواهد بود که r|y و s|z . در این پایان نامه نشان میدهیم حوزه صحیح d حوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd)است اگر و تنها اگر 1)برای هر جفت عناصر {a,b ? d{0 ایده آل متناهیا تولید شده bوجود داشته باشد که ad ? bd = bv و ?)هر چندجمله ای درجه دوم در[d[x که به صورت حاصل ضرب چند جمله ایهای خطی در [k[x است به صورت حاصل ضرب چند جمله ایهای خطی در [d[x نیز نوشته شود.هم چنین با استفاده از عملگر v به تعریف vایده آل ها و حوزه های vمنسجم و ایده آلهای بخشی میپردازیم.همچنین مفهوم چندجمله ایهای ویژه درجه دوم را معرفی کرده و نشان میدهیم حوزه صحیح d حوزه پیش شرایر است اگر و تنها اگر هر چندجمله ای درجه دوم ویژه به صورت حاصل ضرب دو چندجمله ای خطی قابل بیان باشد.در ادامه مفهوم حوزه ارزش و حوزه ارزش کاذب را بیان کرده و نشان میدهیم هر حوزه ارزش یک حوزه ارزش کاذب است و هر حوزه ارزش کاذب با خاصیت حوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک یک حوزه ارزش است. در انتها نیز نشان میدهیم که اگر حوزه صحیح d حوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک باشد آنگاه حلقه چندجمله ایهای[d[x نیزحوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک است .

مونوئید m را در نظر می گیریم و برای آن حلقه های m - شبه آرمنداریز را به عنوان تعمیمی از حلقه های شبه آرمنداریز معرفی می کنیم. و بعضی از ویژگی های آن را بررسی می کنیم. نشان می دهیم که رده حلقه های m - شبه آرمنداریز، تحت بعضی از انواع حلقه های ماتریس های بالا مثلثی، بسته است . همچنین نشان می دهیم که هر حلقه نیمه اول، برای هر مونوئید مرتب کلی اکید یا u.p- مونوئید یک حلقه m - شبه آرمنداریز است. در ادامه رابطه بین ویژگی شبه بئر حلقه r و ویژگی شبه بئر حلقه مونوئیدی [r[m را بررسی می کنیم. و نشان می دهیم که اگر m یک u.p- مونوئید یا یک مونوئید مرتب کلی اکید باشد، آن گاه حلقه شبه بئر r یک حلقه m - شبه آرمنداریز است. کلمات کلیدی: مونوئید - u.p - مونوئید - مونوئید مرتب کلی اکید – حلقه کاهشی - حلقه نیمه اول - حلقه m - شبه آرمنداریز – حلقه شبه بئر.

در این پایان نامه پس از بیان چند تعریف و قضیه ی مقدماتی در فصل 1، مفاهیم مدول های (n,d)-انژکتیو و (n,d)-یکدست و (n,d)-حلقه ی (ضعیف) راست را در فصل 2 معرفی کرده و بعضی از خصوصیات (n,d)-حلقه ها را بیان می کنیم. در فصل 3 ابتدا مفهوم حلقه های n-منسجم را براساس مفهوم حلقه های نوتری و حلقه های منسجم تعمیم داده و سپس به برسی خصوصیات این حلقه ها می پردازیم. در فصل 4 با استفاده از مفاهیمی چون پیش پوش (n,d)-یکدست و پیش پوشش (n,d)-انژکتیو به شناسایی حلقه های n-منسجم و (n,d)-حلقه های(ضعیف) راست می پردازیم و در فصل 5، نشان می دهیم که اگر s یک توسیع تقریبا عالی از حلثقه ی r باشد، آنگاه r یک (n,d)-حلقه ی(ضعیف) راست است اگر وتنها اگر s یک(n,d)-حلقه ی(ضعیف) راست باشد.

درپایان نامه حلقه rراشرکت پذیر و یکدار درنظرمی گیریم.ابتداحلقه های آرمنداریزرامعرفی می کنیم سپس به تعمیم دیگری ازاین حلقه هایعنی حلقه های شبه آرمنداریز راتعریف وساختارآنهارابررسی می کنیم. درادامه ،تعاریف آرمنداریزوشبه آرمنداریزرابه ایده آل ها توسیع می دهیم. ایده آل شبه آرمنداریز را تعریف کردیم. ثابت شده است. ارتباط بین ایده آل های آرمنداریز ضعیف و ایده آل های شبه آرمنداریز را بررسی و اشاره کردیم. اگر i ایده آل شبه آرمنداریز باشد و [i[x خاصیت ifp داشته باشد، آنگاه iایده آل آرمنداریز ضعیف است. درادامه ثابت کردیم اگر iایده آل اول و با خاصبت ifp باشد آنگاه رادیکال ایده آل i شبه آرمنداریز است.

موضوع اصلی که در این پایان نامه مورد بحث قرار می گیرد بررسی ویژگیهای *-مدولها و مدولهای تیلتینگ است در فصل اول برخی تعاریف مقدماتی را ارائه می دهیم در فصل دوم *-مدولها را که تعمیمی از هم ارزی رسته ای موریتا است را معرفی می کنیم سپس *-مدولها را به *n-مدولها تعمیم داده و نشان می دهیم که مدولهای تیلتینگ از بعد پروژکتیو کوچکتر مساوی nهمان *n-مدولها هستند، که n-نمایش آنها شامل همه مدولهای انژکتیو است. واکاماتسو ثابت کرده است که اگر r و s جبر های آرتینی باشند و r-مدول چپ u یک مدول تیلتینگ تعمیم یافته با (s=end(u باشد، آنگاه بعد پروژکتیو (انژکتیو) u به عنوان r-مدول چپ و بعد پروژکتیو (انژکتیو) u به عنوان s-مدول راست با هم برابر است به شرطی که هر دو متناهی باشند. همچنین نشان داد که برابری بعد پروژکتیو u به عنوان r-مدول چپ و بعد پروژکتیو u به عنوان s-مدول راست در حلقه های نوتری برقرار است و این سوال را مطرح کرده است که آیا در حلقه های نوتری بعد انژکتیو u به عنوان r-مدول چپ و بعد انژکتیو u به عنوان s-مدول راست یکی هستند. در فصل سوم نشان می دهیم اگر r یک حلقه نوتری چپ، s یک حلقه نوتری راست و u یک مدول تیلتینگ تعمیم یافته با (s=end(u باشد، آنگاه بعد انژکتیو u به عنوان r-مدول چپ و بعد انژکتیو u به عنوان s-مدول راست با هم برابر است به شرطی که هر دو متناهی باشند. همچنین برخی ویژگیهای تیلتینگ تعمیم یافته را بررسی می کنیم.

دراین پایان نامه ابتدا ایده آل قویاً تحویل ناپذیر تعریف می شود و در حلقه های مختلف مورد بررسی قرار می گیرد. هم چنین خصوصیاتی از ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر و رابطه ی بین ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر از یک حلقه و ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر از موضعی سازی آن حلقه را مطالعه می کنیم. به علاوه ارتباط میان ایده آل های تحویل ناپذیر و ایده آل های قویاً تحویل ناپذیر و ایده آل های اول از یک حلقه جابه جایی را بررسی خواهیم کرد. هم چنین،تعریف را به مدول توسیع داده و زیرمدول های قویاً تحویل ناپذیر از مدول ها را تعریف کرده و رابطه ی زیرمدول های ابتدایی و اول را با زیرمدول های قویاً تحویل ناپذیر و تحویل ناپذیر بررسی می کنیم.

در دهه اخیر مقالات زیادی به رشته تحریر در آمده که در آنها به یک حلقه متناهی یک گراف ساده وابسته شده است و با تجزیه و تحلیل آن گراف نتایج عمیقی در نظریه حلقه ها حاصل شده است در این پایان نامه ساختار گراف مقسوم علیه صفر تعیین شده توسط کلاسهای هم ارزی مقسوم علیه های صفر حلقه جابجائی، یکدار و نوتری r را بررسی می کنیم و نشان می دهیم که چگونه می توان اطلاعاتی در باره حلقه r را از این ساختار بدست آورد به ویژه ما چگونگی تشخیص اول های وابسته حلقه r از روی این گراف ها را تعیین می کنیم

فرض کنید r حلقه ای جابه جایی و یکدار باشد. در این صورت r-مدول m را ضربی (هم ضربی) گویند هرگاه به ازای هر زیر مدول n از m، ایده آل i از r وجود داشته باشد به طوری که n=im(n=(0:i)). مدول های ضربی و هم ضربی دارای خواص مهمی هستند که برخی از آن ها مانند زیر مدول های اول و ماکسیمال آن ها در این پایان نامه بررسی می شود. هم چنین مدول های ضربی وفادار و متناهی مولد را بیان کرده و ارتباط بین آن ها نیز بررسی می شود. در ادامه نیز چند قضیه و نتیجه مربوط به مدول های هم ضربی وفادار مطرح و مورد تحقیق قرار می گیرد.

فرض می کنیم r یک حلقه جابجایی باشد. در اینجا ایده آل های دوجذبی را که تعمیمی از ایده آل های اول هستند معرفی می کنیم و آنها را در دامنه های ارزیاب و پروفر و ددکیند و تقریبا ددکیند بررسی می کنیم.

در این پایان نامه در یک حلقه جا به جایی، زیر مدول های اول و اول مینیمال مدول ضربی و کاهیده m و همچنین زیر مدول های اساسی m از طریق خواص توپولوژیکی بررسی می شود. همچنین بررسی می شود بعد گلدی m با عدد سوسلین (spec(m برابر است.

بسیاری از وضیعت های دنیای واقعی را می توان به راحتی به وسیله نموداری متشکل از مجموعه ای از نقاط و خطوطی که زوج های معینی از این نقاط را به هم وصل می کنند، توصیف کرد. مثلاً نقاط می توانند معرف افراد باشند، خطوط واصل بین زوج ها می توانند معرف دوستی ها باشند و یا نقاط ممکن است مراکز ارتباط های بین آنها باشند. در چنین نمودارهایی آنچه بیشتر مورد توجه است آن است که آیا دو نقطه مفروضبه وسیله یک خط به هم وصل شده اند یا نه؛ شیوه وصل نقاط به هم مهم نیست. تجرید ریاضیاتی وضیعت هایی از این نوع، به پیداش مفهوم گراف منجر شده است. این شاخه ریاضی را به این دلیل گراف می نامند که می توان این وضیعت ها را به صورت گراف (نمودار) نمایش داد، این نمودارها به ما کمک می کند تا بسیاری از خواصآنها را درک کنیم. درگراف هر رأس به وسیله نقطه و هریال به وسیله خطی که دو رأس گراف را به هم وصل می کند، مشخصمی شود. نمودار گراف صرفاً رابطه وقوع را بین رأس ها ویال های آنها به نمایش می گذارد. نظریه گراف علاوه بر این که خود شاخه ی مستقل ومهم در ریاضیات است نقش مهمی در موضوعات نظیر مهندسی الکترونیک، تحقیق در عملیات و احتمالات و غیره دارد. حلقه r پایان نامه مذکور مربوط به مقاله ای که در سال 2008 ، اندرسون 1و بداوی 2 باتوجه به اینکه است یا نه، گراف جمعی را توصیف کردند که وابسته r ایده آلی از z(r) جابه جایی و یکدار و گرافی است که رئوس آن t(??(r)) نمایش می دهند. t(??(r)) به حلقه است و با نماد 1anderson 2badawi 9 مجموعه عناصر حلقه و دو رأس این گراف زمانی با هم مجاور می باشد که مجموع آن ها در مجموعه مقسوم علیه های صفر قرار بگیرند. برای این گراف سه زیرگراف القایی می توان درنظر گرفت که هر کدام از این زیرگراف ها رئوس مجزا از هم دارند که ما ویژگی های گراف را روی گراف جمعی و سه زیرگراف القایی آن بررسی می کنیم. فصل اول این پایان نامه، شامل مطالبی ازتعاریف ومفاهیم حلقه و جبر جابه جایی که اقتباس شده از مراجع شارپ و هراشتاین است و دربخش دیگر فصل اول، مفاهیم گراف و انواع آن را که اقتباس شده از کتاب باندی - مورتی که نقش مهمی در اثبات قضایای اصلی این پایان نامه دارد. در فصل دوم و سوم ویژگی های گراف را روی گراف جمعی از یک حلقه جابه جایی و زیرگرافهای است یا نه، مورد بررسی قرار می دهیم. r ایده آلی از z(r) القایی آن را در دو حالتی که 10

فرض کنید r یک حلقه جابه جایی با همانی ناصفر باشد. دوگان گراف مقسوم علیه صفر r، که با نماد(??(r نشان داده می شود، گرافی است ساده با مجموعه راس های (w*(r که (w*(r مجموعه عناصر ناصفر و نایکال r می باشد و دو راس متمایز x و y مجاورند اگر و تنها اگر x عضو ry نباشد و y عضو rx نباشد. در این پایان نامه، ارتباط بین r و (??(r را بررسی می کنیم. همچنین ارتباط بین (??(r با گراف مقسوم علیه صفر و گراف هم ماکسیمال را بررسی می کنیم.

گراف جیکوبسن معرفی شده و بیان شده که تحت چه شرایطی دو راس متمایز با هم مجاور هستند. برخی از خصوصیات گراف نیز محاسبه شده است.

فرض کنید ‎$ r $‎ حلقه ای جابه ‎جایی و یکدار و ‎$ z(r) $‎ مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه ‎$ r $‎ باشد. گراف جمعی حلقه ‎$ r $‎ گرافی است که رئوس آن عناصر حلقه می باشد و دو راس متمایز ‎$ x $‎ و ‎$ y $‎ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$ x+y in z(r) $‎ . این گراف با نماد ‎$ t(gamma(r)) $‎ نمایش داده می شود. در این پایان نامه دو زیر گراف ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ و ‎$ z_0(gamma(r)) $‎ که رئوس آن به ترتیب ‎$ r ^* $‎ و ‎$ z(r) ^* $‎ می باشند، مورد بررسی قرار می گیرد. در واقع تعیین می شود که ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ و ‎$ z_0(gamma(r)) $‎ چه موقع همبند می باشند و سپس قطر و کمر این دو گراف محاسبه می شود. سپس با مقایسه ‎$ t(gamma(r)) $‎ و ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ مشخص می شود که در حالتی که ‎$ |r| geq 4 $‎، قطر‎$ t(gamma(r)) $‎ با قطر ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ برابر می باشد. ‎‎ همچنین مسیر مقسوم علیه صفرو مسیر منظم رابرای گراف ‎$ t_0(gamma (r)) $‎ تعریف کرده و بررسی می شود چه هنگام بین هر دو راس گراف ‎$ t_0(gamma(r)) $‎ مسیر مقسوم علیه صفر و یا مسیر منظم وجود دارد.