موضوع اصلی این رساله مطالعه n- پوشش های یک گروه متناهی می باشد. یک n- پوشش گروه مفروض g طبق تعریف عبارت است از اجتماع یک گردایه n عضوی از زیرگروه های سره g به طوری که آن گردایه برابر g باشد و دارای هیچ زیر گردایه ای با این ویژگی نباشد. در این رساله عمدتا به مطالعه n- پوشش ها تا6≥n می پردازیم. این رساله مشتمل بر چهار فصل است:در فصل اول تعاریف و قضایای مورد نیاز در رابطه با گروه ها ذکر می شود. با بیان این مفاهیم زبان دقیقی برای بیان مفاهیم بعدی فراهم می آوریم. در فصل دوم به بررسی گروه های 3 -مجموع پرداخته و نشان میدهیم یک گروه دلخواه g، اجتماع سه زیر گروه سره خود است اگر و تنها اگر 4 - گروه کلاین تصویر همریختی g باشد. در فصل سوم به بررسی کلی گروه های n - مجموع می پردازیم. نشان می دهیم گروه 2- مجموع وجود ندارد و ساختار گروه های n- مجموع برای 6≥n≥ را بررسی و رده بندی می کنیم. همچنین گروه های n- مجموع اولیه را تعریف و برای 6≥n≥ آن ها را شناسایی می کنیم. در فصل چهارم به بررسی گروه هایی که دارای یک 6 -پوشش ماکسیمال تقلیل ناپذیر با اشتراک هسته آزاد هستند پرداخته و این گروه ها را رده بندی می کنیم ودر طی آن مقدار دقیق بزرگ ترین شاخص اشتراک در این گروه ها را محاسبه می کنیم.

گراف ناجابجایی (?(g از گروه غیر آبلی g را به صورت ذیل تعریف می کنیم: ( g-z(g ْرا مجموعه رئوس (?(g است جائیکه z(g مرکز g است و دو راس x,y مجاورند هرگاه xy?yx باشد . برخی خواص (?(g را مورد مطالعه قرار می دهیم و عدد استقلال ،عدد رنگی راسی ، عددخوشه و مینیمم اندازه ی پوشش راسی گراف ناجابجایی گروههای دووجهی را بدست می آوریم . ثابت می کنیم برای بسیاری از گروههای غیرآبلی g ، هرگاه h گروهی باشد که ? (g)??(h آنگاه |g|=|h| و با ارائه ی یک مثال نقض نشان می دهیم که این برای همه ی گروهها صادق نیست. به علاوه برای بسیاری از گروههای غیرآبلی g مانند برخی گروههای ساده ثابت می کنیم اگر h گروهی باشد که ? (g)??(h باشد ،آنگاهh? g و در پی خاصیتهای گروهی ، از دو گزوه غیر آبلی با گرافهای ناجابجایی یکریخت هستیم که همیشه یکسان هستند.

در این پایان نامه گروه های متناهی با یک ‎ nپوشش را مورد مطالعه قرار می دهیم و ساختار?_nگروه های پوچتوان برایn?9را بدست می آوریم. همچنین تعریفی برای مجموعه های بلوکی کمین ارائه داده و ارتباط بین مجموعه های بلوکی کمین و?_nگروه ها را بدست می آوریم‎و همه ی گروه های با‎?،?،?‎و ‎?-‎پوشش ماکسیمال کاهش یافته با اشتراک-هسته آزاد را مشخص می کنیم. همچنین نشان می دهیم اگرgیک 2-‎گروه متناهی باشد وnیک عدد صحیح مثبت، آن گاهg یک?_(n+1)پوشش دارد اگروتنهااگرnزوج باشد وg??(z_2)?^n.

در این پایان نامه ما گروه خودریختی های مرکزی گروه های متناهی و ساختار آن در حالت های مختلف را مطالعه می کنیم و سپس به بررسی ارتباط بین گروه خودریختی های مرکزی با گروه خودریختی های داخلی، مرکز گروه خودریختی های داخلی و گروه شامل خودریختی های مرکزی که مرکز را به طور نقطه وار ثابت نگه می دارند، می پردازیم. همچنین شرایط لازم و کافی برای این که گروه خودریختی های مرکزی با گروه های ذکر شده برابر باشد بدست می آوریم. از طرفی به بررسی پوچتوانی و حلپذیری گروه خودریختی های مرکزی پرداخته و در آخر مثال هایی از $-p$گروه هایی را مورد بررسی قرار می دهیم که گروه خودریختی های آنها با گروه خودریختی های مرکزیشان برابر است.

در این رساله با استفاده از مفهوم زیرمیدان های خودنرمال ساز، برهانی جدیدی برای قضیه کوچک ودربرن ارائه می گردد. در ادامه نشان داده می شود که اگر ‎$r$‎ یک حلقه ناجابجایی و ‎$i$‎ یک ایده ال لی غیرمرکزی بدون مقسوم علیه صفر از آن باشد، آن گاه اندازه مجموعه همدسته های ضربی ‎${ai| ain r}$‎ نامتناهی است. ‎ ‎ ‏حال فرض کنید ‎$g$‎ یک گروه متناهی باشد. تابع مجموع مرتبه عناصر ‎$g$‎ را با ‎$psi(g)$‎ نمایش می دهیم. در این رساله برخی رده ها از ‎$-p$‎گروه های متناهی را مطالعه و اعضای این رده را با ‎$psi(g)$‎ و ‎$|g|$‎ رده بندی می کنیم. پس از آن تمامی گروه های متناهی غیر دوری را که دارای بیشترین مقدار مجموع مرتبه عناصر هستند رده بندی و حدس ارائه شده در مرجع ‎cite{sm}‎ در مورد بیشترین مقدار مجموع مرتبه عناصر در گروه های غیر دوری را اثبات می کنیم. در ‎cite{1}‎ نویسندگان نشان داده اند که اگر ‎$g$‎ یک گروه غیر دوری از مرتبه ‎$n$‎ باشد، آنگاه ‎$psi(g)< psi(c_n)$‎. این نتیجه را بهبود و تعمیم داده و به عنوان کاربردی از این نتیجه نشان خواهیم داد که اگر ‎$g$‎ یک گروه غیر دوری از مرتبه ‎$n$‎ باشد، آنگاه ‎$psi_2(g)< psi_2(c_n)$‎ که در آن ‎$psi_2(g)$‎ مجموع حاصلضرب تمام ترکیب های دوتایی از مرتبه عناصر در ‎$g$‎ است.

‏زیر مجموعه‎‎s‎$‎ از مجموعه رئوس گراف‎$g$‎ ‏، یک مجموعه ی غالب است‏، هر گاه هر رأس‎$v$‎ در ‎‎$v‎setminus s ‎‎$ با حداقل یک رأس از ‎$s$‎ مجاور باشد. عدد غالب‎‎gamma ‎(g)‎$‎ از گراف‎g$‎ ‏، اندازه ی کوچکترین مجموعه ی غالب از گراف است.‎‏فرض کنید‎$‎r‎$‎ یک حلقه ی ناجابجایی باشد. گراف جابجایی روی‎$r$‎ که با نماد‎$‎gamma(r)‎$‎ نشان داده می شود‏، یک گراف با مجموعه ی رئوس‎$r‎setminus z(r)‎‎$‎ است و ‏دو رأس متمایز‎a$‎ و‎$b$‎ در آن با هم مجاورند‏، ‏اگر و تنها اگر‎$ab=ba$‎ .‎ ‎فرض کنید ‎$g=(v , e)$‎ یک گراف ساده باشد. تابع‎$f: v‎longrightarrow ‎lbrace ‎-1,1‎ brace‎$‎ را تابع غالب علامت دار نامیم هر گاه به ازای‎ هر عضو‎$v$‎ ‏از ‎$v(g)$‎ داشته باشیم،$sigma ‎_{u‎in n‎[v]} f(u) ‎geq1‎‎$‎ ‎عدد غالب علامت دار گراف‎$g$‎ ‏،‎$‎gamma‎_s(g)$‎ را برابر مینیمم مقدار تابع غالب علامت دار روی گراف‎$g$‎ تعریف می کنیم. ‎‎ ‎‏فرض کنید‎$‎g‎$‎ یک گروه موضعا دوری نباشد. گراف غیر دوری‎$g$‎ که با نماد‎$‎gamma‎_g$‎ نشان داده می شود گرافی است با مجموعه ی رئوس‎$v(‎gamma_g)=g‎setminus ‎cyc(g)‎$‎ جایی که دو رأس ‎$x,y‎in v(‎gamma‎_g)‎$‎‎‎ مجاورند اگر و تنها اگر‎$‎langle ‎x,y ‎ angle‎‎$‎‎ دوری نباشد.‎‏در این پایان نامه عدد غالب گراف جابجایی حلقه های ناجابجایی از مرتبه ‎‎p‎^{4}‎‎$‎ را محاسبه می کنیم‏، همچنین تمام گروه هایی را که ‎$‎gamma(‎gamma_g‎)+‎gamma(overline‎gamma_g‎)‎in ‎lbrace n,n-1,n-2,n-3 ‎ brace‎‎‎‎‎‎‎$ ‎‎ ‎ تعیین می کنیم. ‎‏به علاوه نشان می دهیم که‎$‎gamma(overline‎gamma_g‎)=frac {n-1}{2}‎$‎‎ ‏اگر وتنها اگر‎$‎overline ‎gamma_g‎‎$‎ اجتماعی از ‎$frac{n-1}{2}$‎ یال باشد . در پایان ثابت می کنیم که اگر‎$‎vert ‎cyc(g) ‎vert =t‎‎$‎ ‏، آنگاه‎$‎gamma‎_s(‎gamma_g‎)‎<n-t‎$‎