یکی از روشهای زیر فضای کریلف برای حل دستگاه معادلات خطی روش گرادیان مزدوج (cg) است که از روش جهتهای مزدوج (cd) یا از روش لانکزوس به دست می آید. در این پایان نامه روابط بازگشتی از نوع hs و لانکزوس برای تولید جهتهای a-مزدوج را بررسی می کنیم. همچنین چگونگی به دست آوردن روشهای مانده دو مزدوج (bcr) از الگوریتم بلوکی cg را توصیف می کنیم. سپس حالتهای متفاوت روش bcr را معرفی می کنیم. نتایج عددی نشان میدهد که انواع موثری از الگوریتم bcr میتواند یافت شوند که فقط دو ضرب ماتریس در بردار در هر تکرار نیاز دارد.برای انواع مختلف hs از روشهای bcr، تکنیک استفاده از فرمول جایگزین برای pi+1 و تولید دنباله های بازگشتی {wi} و {yi} برای رسیدن به الگوریتمی سریعتر، سودمند است. انواع مختلف hs، حداقل به همان خوبی الگوریتم های نوع لانکزوس است بلکه در اغلب موارد از آن نیز موثرتر است. از انواع مختلف hs، الگوریتم bcr2ab از بقیه سریعتر و موثرتر است. همچنین عدد شرطی ماتریس ضرایب در تمام الگوریتم ها تخمین زده می شوند.

ترمیم تصاویر از مسائل مهم و کلاسیک در علوم مختلف مانند علم پزشکی,هواشناسی,کنترل خط تولیدو...مورد استفاده قرار می گیرد.هدف از ترمیم تصویر,یافتن تقریبی از تصویر واقعی است.یکی از روش های متداول برای یافتن تصویر واقعی استفاده از روش کمترین مربعات است.در این پایان نامه از روش های کمترین مربعات تعمیم یافته و کمترین مربعات بلوکی استفاده می کنیم و نتایج عددی را با روش کمترین مربعات مقایسه می کنیم.درپایان با ارائه نتایج عددی کارایی دوروش کمترین مربعات تعمیم یافته و بلوکی را مورد ارزیابی قرار خواهیم داد.

در علوم مختلف مسائلی مانند محاسبات کمترین مربعات بازگشتی, انتشار موج, روش عددی برای حل معادلات انتگرالی و پردازش تصاویر منجر به حل دستگاه معادلات خطی چندگانه می گردد. در این پایان نامه روش تصویری گالرکین برای حل این دستگاهها مورد استفاده قرار می گیرد. با ارائه چند گزاره معادله سیلوستر شبه تعمیم یافته را به دستگاه معادلات خطی چندگانه تبدیل نموده و سپسبا استفاده از روش تصویری گالرکین حل می کنیم.

وانتم شور سپس و هتخادرپ رتسول?س ?س?رتام ت?داعم ?فرعم هب ادتبا هماننا?اپ ن?ا رد رتسول?س ?س?رتام ت?داعم لح یارب ار هتفا?ع?سوت یدلونرآ و یدلونرآ یاهشور و ?نمض-رادتهج یدا?ز دربراک ?لئاسم ن?نچ .م?رب?م راک هب ،دنشاب?م ن??اپ هبترم باوج یاراد هک گرزب سا?قم اب لصف رد .دنراد ... و ر?وصت شزادرپ لئاسم ،لدم شهاک لئاسم ،تاطابترا و لرتنک یه?رظن رد شور مود لصف رد .م?نک?م نا?ب ار تسا زا?ن دروم دعب یاهلصف رد هک ?ف?راعت و ا?اضق لوا لح یارب ار هتفا?ع?سوت یدلونرآ و یدلونرآ یاهشور موس لصف رد و ?نمض-رادتهج-بوانتم یدلونرآ یاهشور ??اراک یددع لاثم دنچ هئارا اب ?نا?اپ لصف رد و م?رب?م راک هب رتسول?س هلداعم .درک م?هاوخ ?سررب اهشور ه?قب هب تبسن ار هتفا?ع?سوت

بسیاری از مسائل علوم فیزیک و مهندسی به معادلات انتگرال خطی منجر می شوند. در عمل تعداد بسیار کمی از آن ها را می توان به روش تحلیلی حل نمود و جواب دقیق آنها را به دست آورد. بنابراین از روش های عددی برای محاسبه جواب تقریبی آن ها استفاده می گردد. در این پایان نامه به بررسی دو روش عددی حل معادلات انتگرال فردهلم خطی و دستگاه آن می پردازیم. روش اول، یک روش تکرار- توسیع عددی بر اساس فرم های برداری توابع تکانه بلوکی و ماتریس عملیاتی انتگرال می باشد. با استفاده از این روش حل معادلات انتگرال فردهلم خطی به حل یک رابطه بازگشتی کاهش پیدا می کند و جواب تقریبی به روش تکراری از طریق رابطه بازگشتی به دست می آید. همچنین در این روش دستگاه معادلات انتگرال فردهلم به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می شود. روش دوم یک روش تکراری عددی، براساس روش تکراری ریچاردسون برای حل دستگاه معادلات b = ax می باشد که با اعمال شرایطی، چگونگی به کار بردن روش ریچاردسون برای حل معادلات انتگرال فردهلم خطی نوع دوم و دستگاه آن را نشان خواهیم داد.

معادلات ناویر-استوکس امروزه در بسیاری از شاخه¬های علوم کاربردی نقش اساسی دارد. این معادلات یکی از پرکاربردترین دسته¬ی معادلات است که با به کارگیری قانون دوم نیوتون برای حرکت سیالات به دست می¬آید. در این پایان نامه، معدلات بی¬بعد ناویر-استوکس 2-بعدی و روش¬های حل آن را مطاالعه می¬کنیم . هم¬چنین، روش¬های زیرفضای کریلف پیش¬شرط شده را معرفی و از آن¬ها برای حل معادلات ناویر-استوکس استفاده می¬کنیم. سه روش تکرای که اساس این تحقیق را تشکیل می¬دهند روش مانده مینیمال تعمیم یافته (gmres) ، روش orthomin(k)، و روش شبه مانده¬ی مینیمال(qmr) هستند. علاوه بر این، نحوه به دست آوردن یک گام زمانی مناسب را بررسی می¬کنیم.

معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری حالت کلی تری از معادلات دیفرانسیل معمولی است که در معادله به جای مشتق مرتبه صحیح، مشتق مرتبه غیر صحیح جایگذاری می شود مانند مشتق از مرتبه 1/2 و مشتق از مرتبه ?. به دلیل اینکه عملگر مشتق گیری از مرتبه کسری یک عماگر غیر موضعی است، به دست آوردن جواب های تحلیلی و هم چنین عددی آن ها، نسبت به معادلات دیفرانسیل معمولی بسیار مشکل تر است. در واقع طبق تعریف مشتق کسری، برای محاسبه مشتق درزمانt_k، همه ی مقادیر تابع از t=0 تا t=t_k مورد نیاز است. بنابراین، همه ی مقادیر تابع از زمان آغازین تا زمان حال بایستی ذخیره گردد. این کار نیاز به حافظه زیادی از کامپیوتر دارد و هم چنین بسیار وقت گیر است. در این پایان نامه با معرفی ماتریس های نواری مثلثی و استفاده از خواص آن‎ ها، یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی کسری و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی کسری ارایه می دهیم.

بسیاری از مسائل علوم کاربردی و مهندسی منجر به معادلات ماتریسی خطی میشوند. به طورکلی معادلات ماتریسی خطی را میتوان با استفاده از روشهای مستقیم و روشهای تکراری حل کرد. روشهای مستقیم به دلیل حجم زیاد محاسبات و همچنین ذخیرهسازی و سرعت محدود کامپیوترها برای حل معادلات ماتریسی خطی با ماتریس ضرایب بزرگ، به ویژه معادلات ماتریسی خطی که ماتریس ضرایب آنها تنک هستند، مناسب نیستند. برای این گونه معادلات ماتریسی معمولا?از روشهای تکراری استفاده میشود. روشهای تکراری در مقایسه با روشهای مستقیم برای حل معادلات ماتریسی خطی کارایی بهتری دارند. در این پایاننامه یک روش تکراری کارا برای حل معادله ماتریسی خطی a (x) = e با ماتریس حقیقی x ارایه میشود.با این روش تکراری حلپذیری معادله ماتریسی خطی به طور خودکار مشخص میشود. وقتی معادله ماتریسی سازگاراست، آنگاه برای هر ماتریس اولیه x، جواب در غیاب خطاهای گرد شده، در تعداد متناهی تکرار بهدست میآید. جواب کمترین نرم با انتخاب یک نوع خاص ماتریس اولیه بهدست میآید. همچنین یک الگوریتم تکراری برای بهدست آوردن جواب یا جواب کمترین نرم دستگاه ماتریسی سازگار ارایه میشود. در پایان با استفاده از چند مثال عددی کارایی این دو الگوریتم را نشان میدهیم

در ا?ن پا?اننامه حل مسألهی کمتر?ن توانهای دوم خطی( مینیمم نرم ax-b) را مورد بررسی قرار می ده?م و از روش عددی lsmr برای حل مسأله کمتر?ن توانهای دوم استفادهمی کن?م سپس با تعر?ف ?ک پ?ششرط ساز مناسب برای ا?ن روش، سرعت هم?را?ی آن را بهبود میبخش?م.