بررسی گروه خودریختی های شیئ مفروض xدر یک رسته موضوع جالب وغالبا پیچیده ای است. در آنالیز و هندسه مختلط نگاشت های تمامریخت بین دامنه های مختلط منجر به بررسی خمینه های مختلط می شود و در این راستا گروه خود ریختی های شیئ xرا با aut(x)نمایش می دهند. دامنه های کراندار با مرز هموار در cnدو دسته اند: یکی با گروه خودریختی های فشرده و دیگری با گروه خودریختی های غیرفشرده. با دانستن این که یگانه دامنه کراندار در cn با مرز هموار تا درجه دو که اکیدا شبه محدب باشد و گروه خودریختی هایش غیرفشرده باشد فقط گوی یکه است توجه به حالت های غیرفشرده جذب شد. ما دراین پایان نامه ضمن آنکه اثبات جدیدی از کرانتس و کیم که در سال 2003 برای قضیه ونگ -روزه با استفاده از حلقه توابع تمامریخت ارائه شده است را می آوریم دامنه هایی غیر از گوی یکه از قبیل دامنه های رینهارت و دامنه های مدور غیررینهارت و بسقرص را نیز بررسی و کارهای این زمینه را درک و ارائه می کنیم. در این میان نیز نگاهی گذرا به گروههای لی داریم. توجه داشته باشیم که رابطه بین گروه لی وخمینه های مختلط منحصر به دامنه و خمینه های مختلط نیست بلکه به فضاهای مختلط نیز توسعه می یابد هر چند که ما وارد بحث آن نخواهیم شد.

در ابتدا مفاهیمی چون برد عددی، شعاع عددی و ... بیان می کنیم. فرض می کنیمh فضای هیلبرت و h(h)فضای خطی حقیقی اپراتورهای خودالحاق کراندار روی hباشد. ما به مطالعه چگونگی حفظ وارون پذیری، معین مثبت بودن،بردعددی و... نگاشت h(h)? :h(h) ? می پردازیم. هم چنین نشان می دهیم متناظر با فرض پوشایی یا یک به یکی? برای عنصر وارون پذیر یا عنصر یکانی t و ??{1,-1} فرمی به صورت x??txt? یا t? x??t x ^t دارد.با این توضیح کهx^t ترانهاده x نسبت به یک پایه مناسب است. این نتایج را می توان به نگاشت های خطی مختلط روی جبر اپراتورهای خطی کراندار روی h گسترش داد.

در این پایان نامه، نظریه میانگینها برای سه حالت عددی، ماتریسی و عملگری مورد مطالعه قرار گرفته است. بطور خاص، میانگین حسابی، میانگین هندسی و میانگین هارمونیک مورد بحث میباشند. بهویژه، میانگین هندسی، میانگین هندسی وزندار و توسعه این میانگینها برای $k$ ماتریس و $k$ عملگر $(kgeq 3)$ به تفصیل بیان میگردد. همچنین، برای هر یک از تعاریف ارائه شده، محاسبات عددی با استفاده از نرمافزار lr{matlab} ارائه خواهد شد.

در این پایان نامه ابتدا دو رده از عملگرهای روی فضای هیلبرت به نام های ‎$-(alpha,eta)$‎ نرمال و ‎$a^*_p$‎ که تعمیمی از عملگرهای نرمال می باشند، تعریف می شود و نشان داده می شود که تحت شرایط مطلوبی ‎$z+t$‎ نیز ‎$-(alpha,eta)$‎ نرمال خواهد بود و در برخی حالت ها مضربی از نرم عملگری این رده عملگرها از شعاع طیفی کوچکتر می باشد. همچنین نشان داده می شود که عملگرهای رده ی ‎$a^*_p$‎ نرمال گون هستند و صفر تنها عملگر از این رده می باشد که شبه پوچتوان است. شرایط لازم و کافی برای اینکه یک عدد مختلط مقدار ویژه ی یک اختلال متناهی رتبه از عملگر قطری پذیر باشد، ارائه شده است. در پایان نشان داده شده است که هر عملگر شبه پوچتوان روی فضای هیلبرت دارای زیر فضای ابرپایای غیر بدیهی است.

هدف از این پایان نامه بررسی انواع کران های بالا برای شعاع اقلیدسی عملگرهای خطی کران دار n تایی روی فضای هیلبرت است. این کار با بکارگیری چند تعمیم از نامساوی بسل مانند نامساوی بواس-بلمن و بومبری است. همچنین درباره نرم و شعاع عددی عملگرهای خطی کران دار nتایی روی فضای هیلبرت بحث می کنیم.

چکیده ندارد.