در سالهای اخیر روشهای بدون شبکه برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی محبوبیت زیادی پیدا کرده است. هدف این رساله ارائه روشهای عددی بدون شبکه بر اساس روش بدون شبکه محلی پتروف-گالرکین ‎(mlpg)‎ برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. در فصل اول مقدمه ای مختصر بر روشهای بدون شبکه ارائه خواهیم داد و آنها را به سه دسته کلی دسته بندی می کنیم. از آنجا که روشهای ارائه شده در این رساله بر روش ‎mlpg‎ استوار است، در فصل دوم این روش به تفصیل بررسی خواهد شد. در فصل سوم، با توجه به اهمیت بسیار زیاد سیستم های معادلات دیفرانسل غیر خطی با مشتقات جزئی، یک روش بدون شبکه برای حل عددی آنها ارائه می شود و برای فائق آمدن بر مشکل غیر خطی بودن، یک روش پیشگو-اصلاحگر در هر گام زمانی پیشنهاد خواهد شد. در فصول چهارم و پنجم، جوابهای عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی دو بعدی و سهموی با شرایط مرزی غیر کلاسیک بررسی خواهد شد. فصل ششم به حل عددی معادلات دیفرانسیل دوبعدی کسری-زمان مکش-پخش-عکس العمل اختصاص یافته است. در نهایت یک نتیجه گیری کلی ارائه و پیشنهاداتی برای خوانندگان علاقه مند جهت کارهای آتی بیان خواهد شد.

دستگاه خطی ax=b را در نظر بگیرید. در مسیر حل بسیاری از مسایل در حیطه های مختلف علوم، به حل یک دستگاه خطی مواجه می شویم، بنابراین کارایی روش حل اکثر مسایل به کارا بودن حل دستگاه خطی متناطر وابسته می شود. تا کنون روشهای تکراری زیادی برای حل این مسئله مطرح وایجاد شده اند. الکوریتم های کلاسیک ژاکوبی، گاوس سایدل و sor نمونه هایی از روش های تکراری موجود هستند. ایده پالایش تکراری بهبود بخش برای تولید جواب این مسئله همچنان جذابیت خود را در بین محققین این موضوع حفظ کرده است. لذا در این پایان نامه در راستای ایجاد برخی اصلاحات بهبود بخش روی الگوریتم های موجود جهت حل دستگاه مذکور با ویژگی های متفاوت و تولید الگوریتم های تکراری با سرعت همگرایی مناسب تر، بخصوص وقتی که ماتریس ضرایب اسپارس(sparse)و یا بد حالت باشد، حرکت می شود. در این راستا روش های پیش شرط کننده را نیز با هدف تولید یک دستگاه معادل، به عنوان یکی از راهکارهای افزایش سرعت و کاهش بد وضعی دستگاه معادل، بررسی و نمونه هایی از پیش شرط کننده های مناسب پیشنهاد و ارائه خواهیم نمود. در پایان نمونه هایی از الگوریتم های ارائه شده پیاده سازی می شوند.

به دست آوردن جواب های تحلیلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی‏، بسیار مشکل و اکثر مواقع ناممکن است. از این رو دانشمندان و مهندسان به‏ دنبال ارائه روش های کارای عددی برای به دست آوردن جواب های تقریبی این معادلات هستند. از مهم ‎‏ ترین روش های عددی موجود می توان به روش های عناصر متناهی و تفاضلات متناهی اشاره کرد که از معایب این روش ها هزینه بالای شبکه بندی و شبکه بندی مجدد می باشد. برای غلبه بر این مشکلات‏، روش های بدون شبکه معرفی گردیدند. روش های بدون شبکه‏، از یک مجموعه نقاطی که در دامنه مسأله و مرزهای آن پخش شده اند‏، برای نمایش دامنه و مرزهای آن (و نه برای گسسته سازی) استفاده می کنند. این روش ها از فرم قوی‏، فرم ضعیف سراسری‏، فرم ضعیف محلی و یا ترکیبی از این فرم ها برای گسسته سازی مسأله استفاده می کنند. در این پایان نامه‏، روش های بدون شبکه در حالت کلی بررسی خواهند شد. ساختار کلی آن ها ارائه می شود. همگرایی این روش ها در حالت کلی به صورت محض بررسی خواهد شد. برای ورود بیشتر به جزئیات‏، در فصل آخر‏، همگرایی روش بدون شبکه محلی پتروف-گالرکین با توابع پایه ای شعاعی بررسی می شود که نتایج عددی حاصله تئوری را تأیید خواهد کرد.

در این پایان نامه با استفاده از معادلات با مشتقات ‏جزئی به بررسی مسائل کنترل بهینه و حساب تغییرات می پردازیم. از جمله این معادلات که ارتباط بین مسائل کنترل بهینه و حساب تغییرات را نشان می دهد‏، معادله هامیلتون - ژاکوبی می باشد. معادله هامیلتون - ژاکوبی در مسائلی مانند پردازش تصویر‏، مسائل بهینه سازی ‏و پدیده هایی که یک منحنی یا یک سطح در طول زمان منتشر می شوند‏، مانند مدل کردن پیشروی آتش سوزی در جنگل, کاربرد دارد.‎ ‎ ‏در فصل اول‏، کاربرد و روش های حل معادلات دیفرانسیل جزئی‏، قضایا‏، مفاهیم اولیه و شرایطی مانند محدب بودن که در کمینه سازی تابعک ها کاربرد دارد را بیان می کنیم. در فصل دوم‏، روش مشخصه برای حل یک معادله غیر خطی مرتبه اول شرح داده می شود. تبدیل لژاندار و فرمول هاپف-لاکس که جواب مسئله حساب تغییرات بوده به تفصیل بررسی می شوند.‎ ‎‎‎ ‏در فصل سوم‏، ویژگی های مسیرهای کمینه در مسائل حساب تغییرات را شرح می دهیم و نشان می دهیم که مسیرهای کمینه ساز در یک دستگاه معادلات معمولی صدق می کنند. این دستگاه معادلات‏، معادله اویلر-لاگرانژ برای مسیرهای کمینه می باشد. در فصل چهارم نظیر این مسیرهای کمینه‏، کنترل بهینه را معرفی کرده و در ادامه دو روش سیستماتیک برای حل مسئله کنترل ارائه می دهیم و به ارتباط میان تابع ارزش و معادله هامیلتون - ژاکوبی می پردازیم.‎ ‎ در فصل پنجم، به تشریح جواب های ویسکوزیته می پردازیم و نشان می دهیم تابع ارزش بدست آمده از مسئله کنترل یک نوع جواب ویسکوزیته برای معادله هامیلتون - ژاکوبی می باشد. ‏در آخر روش های عددی برای حل معادله هامیلتون - ژاکوبی ‏و یک ‏حالت خاص آن یعنی معادله ی ایکونال را ارائه می دهیم.

در این پایان نامه به ترتیب موارد زیر را بررسی می شود: 1. مسئله ی نامعادلات تغییراتی 2. تعمیم مسئله ی نامعادلات تغییراتی روی فضاهای هیلبرت و باناخ 3.تعمیم مسئله ی نامعادلات تغییراتی روی مشبکه هیلبرت و باناخ مهم ترین هدف در مسئله ی نامعادلات تغییراتی تعمیم یافته وجود جواب می باشد که در این پایان نامه به آن می پردازیم.در ضمن بعضی نتایج در مورد وجود جواب های ماکسیمم و مینیمم را برای مسئله نامعادلات تغییراتی تعمیم یافته بررسی میکنیم.

در این پایان نامه‏، روش ها و مدل های مختلف پردازش و ترمیم تصاویر به کمک معادلات با مشتقات جزئی مورد بررسی قرار گرفته اند. دلایل و انگیزه انتخاب معادلات با مشتقات جزئی در پردازش تصویر و همچنین جنبه های تئوری و خواص ریاضی این معادلات بحث شده اند. اثبات همگرایی برخی روش ها نشان داده شده و همچنین چگونگی به کارگیری و کارایی روش ها همراه با مثال های عددی ارائه شده است‎‏.‎ در فصل اول به معرفی مفاهیم مورد استفاده در پردازش تصویر از جمله نمایش دیجیتال تصاویر‏، معرفی نویز و معادلات با مشتقات جزئی و روش های عددی می پردازیم. فصل دوم به بررسی معادله گرما و کاربرد آن در رفع نویز از تصویر و سیگنال اختصاص یافته است. معادله انتشار غیرخطی پرون-مالیک‎‎ و مزایا و کارایی این روش نسبت به معادله گرما به طور مفصل مورد بحث قرار گرفته است. این روش ها الگویی برای یک گروه وسیع از کاربردها را ارائه می دهند. ما در فصل سوم تغییرات کلی و کاربرد آن در ترمیم تصویر را مطالعه می کنیم و اثبات همگرایی روش تکراری مبتنی بر تغییرات کراندار نشان داده شده است. فصل آخر به معرفی روش منحنی های تراز و حل عددی معادله همیلتون-ژاکوبی‎ اختصاص یافته است. ‎

در فصل اول به تعاریف و قضیه هایی مورد نیاز در فصل های بعدی و همچنین بررسی فضای سوبولف می پردازیم. در فصل دوم عملگر لاپلاس بی نهایت را معرفی کرده و از آنجا که برای معادله لاپلاس بی نهایت جوابهایی وجود دارد که نمی توانند در مفهوم کلاسیک تفسیر شود به بررسی جوابهای چسبندگی می پردازیم . در فصل سوم اولین و دومین مقدار ویژه و توابع ویژه و ارتباط بین آنها و ارتباط بین جوابهای عملگر لاپلاس بی نهایت پرداخته و در آخرین فصل روش عددی تفاضلات متناهی برای پیدا کردن جواب می پردازیم.

در این پایاننامه مسئله ی جدیدی بنام جواب های مشترک نامعادلات تغییراتی (csvivp) می نامیم. که این مسئله شامل پیدا کردن جواب های مشترک نامعادلات تغییراتی در فضای هیلبرت است. یک الگوریتم برای حل مسئله ی (csvip) دو مجموعه ای ارائه می دهیم که هر دنباله ی تولید شده توسط این الگوریتم همگرای ضعیف به جواب مشترک است .همچنین این الگوریتم را در حالت کلی (csvip) برای تعداد متناهی مجموعه ها تعمیم می دهیم . در نهایت الگوریتم دیگری را ارائه می دهیم که تحت آن هر دنباله ی تولید شده توسط این الگوریتم همگرای قوی به جواب های مشترک می باشد.

بسیاری از مسائل علوم فیزیک و مهندسی به معادلات انتگرال خطی منجر می شوند. در عمل تعداد بسیار کمی از آن ها را می توان به روش تحلیلی حل نمود و جواب دقیق آنها را به دست آورد. بنابراین از روش های عددی برای محاسبه جواب تقریبی آن ها استفاده می گردد. در این پایان نامه به بررسی دو روش عددی حل معادلات انتگرال فردهلم خطی و دستگاه آن می پردازیم. روش اول، یک روش تکرار- توسیع عددی بر اساس فرم های برداری توابع تکانه بلوکی و ماتریس عملیاتی انتگرال می باشد. با استفاده از این روش حل معادلات انتگرال فردهلم خطی به حل یک رابطه بازگشتی کاهش پیدا می کند و جواب تقریبی به روش تکراری از طریق رابطه بازگشتی به دست می آید. همچنین در این روش دستگاه معادلات انتگرال فردهلم به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می شود. روش دوم یک روش تکراری عددی، براساس روش تکراری ریچاردسون برای حل دستگاه معادلات b = ax می باشد که با اعمال شرایطی، چگونگی به کار بردن روش ریچاردسون برای حل معادلات انتگرال فردهلم خطی نوع دوم و دستگاه آن را نشان خواهیم داد.

در این پایان نامه با استفاده از روش بدون شبکه معادلات انتگرال محلی به بررسی جوابهای عددی معادله دو بعدی پخش -مکش با یک شرط مرزی انتگرالی می پردازیم . سپس معادلات پخش دو بعدی با جملات غیر خطی و نوع دیگری از شرایط مرزی غیر کلاسیک را بررسی خواهیم کرد. این معادلات را با استفاده از روش بدون شبکه محلی پتروف گالرکین و توابع پایه ای شعاعی بررسی خواهیم نمود. معادلات مورد بحث از نوع معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیر خطی سهموی هستند. برای حذف متغیر زمانی از روش تفاضلات متناهی تک گامی استفاده شده است. متغیرهای مکانی با استفاده از روش کمترین مربعات متحرک و توابع پایه ای شعاعی تقریب زده شده است. در هر گام زمانی جملات غیر خطی با استفاده از روش تکراری بررسی شده است.

معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری حالت کلی تری از معادلات دیفرانسیل معمولی است که در معادله به جای مشتق مرتبه صحیح، مشتق مرتبه غیر صحیح جایگذاری می شود مانند مشتق از مرتبه 1/2 و مشتق از مرتبه ?. به دلیل اینکه عملگر مشتق گیری از مرتبه کسری یک عماگر غیر موضعی است، به دست آوردن جواب های تحلیلی و هم چنین عددی آن ها، نسبت به معادلات دیفرانسیل معمولی بسیار مشکل تر است. در واقع طبق تعریف مشتق کسری، برای محاسبه مشتق درزمانt_k، همه ی مقادیر تابع از t=0 تا t=t_k مورد نیاز است. بنابراین، همه ی مقادیر تابع از زمان آغازین تا زمان حال بایستی ذخیره گردد. این کار نیاز به حافظه زیادی از کامپیوتر دارد و هم چنین بسیار وقت گیر است. در این پایان نامه با معرفی ماتریس های نواری مثلثی و استفاده از خواص آن‎ ها، یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی کسری و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی کسری ارایه می دهیم.

در این پایان نامه به ارایه یک روش عددی بدون شبکه برای بررسی جواب های عددی دستگاه معادلات دیفرانسیل غیر خطی پخش می پردازیم . معادلات مورد بحث معادلاتی هستند که در آنها ناپایداری حاصل از پخش یا ناپایداری تورینگ رخ می دهد. در واقع پروفسور آلن تورینگ اولین فردی بود که شکل گیری الگوهای خاص در اینگونه سیستم ها ر ا کشف کرد. به دست آوردن جواب های تحلیلی برای اینگونه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، بسیار مشکل و در اکثر مواقع ناممکن است. بنابراین هدف ما ارایه یک روش عددی کارا برای بررسی این دسته از معادلات است. دستگاه معادلاتی که متشکل از دو معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیر خطی از نوع سهموی است، با روش بدون شبکه انتگرال محلی و روش تفاضلات متناهی یک گامی به طور عددی حل شده است. متغیرهای مکانی با استفاده از روش کمترین مربعات متحرک تقریب زده شده است. در هر گام زمانی جملات غیر خطی با استفاده از روش تکراری بررسی شده است. تاثیر پارامترها و شرایط مسأله در نحوه ی شکل گیری الگوها بررسی شده است.

بسیاری از مسائل علوم کاربردی و مهندسی منجر به معادلات ماتریسی خطی میشوند. به طورکلی معادلات ماتریسی خطی را میتوان با استفاده از روشهای مستقیم و روشهای تکراری حل کرد. روشهای مستقیم به دلیل حجم زیاد محاسبات و همچنین ذخیرهسازی و سرعت محدود کامپیوترها برای حل معادلات ماتریسی خطی با ماتریس ضرایب بزرگ، به ویژه معادلات ماتریسی خطی که ماتریس ضرایب آنها تنک هستند، مناسب نیستند. برای این گونه معادلات ماتریسی معمولا?از روشهای تکراری استفاده میشود. روشهای تکراری در مقایسه با روشهای مستقیم برای حل معادلات ماتریسی خطی کارایی بهتری دارند. در این پایاننامه یک روش تکراری کارا برای حل معادله ماتریسی خطی a (x) = e با ماتریس حقیقی x ارایه میشود.با این روش تکراری حلپذیری معادله ماتریسی خطی به طور خودکار مشخص میشود. وقتی معادله ماتریسی سازگاراست، آنگاه برای هر ماتریس اولیه x، جواب در غیاب خطاهای گرد شده، در تعداد متناهی تکرار بهدست میآید. جواب کمترین نرم با انتخاب یک نوع خاص ماتریس اولیه بهدست میآید. همچنین یک الگوریتم تکراری برای بهدست آوردن جواب یا جواب کمترین نرم دستگاه ماتریسی سازگار ارایه میشود. در پایان با استفاده از چند مثال عددی کارایی این دو الگوریتم را نشان میدهیم

در این پایان نامه به حل معادله کسری زمان پخش با استفاده از تبدیلات انتگرالی می پردازیم سپس با استفاده از درونیاب گاوسی جواب عددی آن را به دست می آوریم

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.