یک شاخص توپولوژیک کمیت عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود و تحت خودریختی های گراف پایا است. در این رساله مقادیری فرینه برای شاخص های توپولوژیک بالابان، پاداماکار-ایوان راسی و هندسی-حسابی به دست آمده اند. به علاوه شاخص توپولوژیک سگد و پاداماکار-ایوان مقایسه و تحت شرایطی روابط بین آن ها را محاسبه کرده ایم. سپس ضمن بررسی شاخص های توپولوژیک فولرن ها، فولرن‎ هایی را که گراف کیلی هستند کاملاً به دست آمده اند. در پایان ضمن آنکه گراف اقلیدسی دسته هایی از فولرن ها را مطالعه کرده و با اثبات قضایایی به درک بهتر این نانو ساختارها پرداخته ایم، شاخص های پاداماکار-ایوان راسی و شاخص سگد دسته ای از فولرن ها را محاسبه کرده ایم.

نظریه اندازه کلاسیک بر مفهوم ‎$sigma$-‎جبری از زیرمجموعه های یک مجموعه بنا شده است. بنیان این اندازه بر خاصیت جمعی شمارش پذیر بودن استوار است. در این پایان نامه مفاهیم مربوط به مجموعه های کلاسیک مانند ‎$sigma$-‎جبر و اندازه را به مجموعه های فازی توسیع می دهیم. در انتقال این مفاهیم از نظریه مجموعه های کلاسیک به مجموعه های فازی باید تعاریف را به نحو مناسبی تعمیم دهیم که در حالت تحدید به مجموعه های کلاسیک با تعریف اولیه منطبق باشند.‏‎ ما ابتدا در فصل دوم دامنه های اندازه را در مجموعه های کلاسیک از ساده ترین آنها معرفی کرده و آنها را تعمیم دادیم تا به ‎$‎‎‎‎sigma$‎‏-جبر از مجموعه ها برسیم و مشاهده کردیم ‎$‎‎‎‎sigma$‎‏-جبرها کامل ترین مجموعه ها هستند که می توان اندازه را بر آنها تعریف کرد. جبرهای بول را به عنوان یکی از مهمترین جبرها معرفی کرده و اندازه را روی آنها پیاده کردیم. سپس ارتباط جبرهای بول و جبر (میدان) از مجموعه ها را بوسیله قضیه استون و ارتباط جبرهای بول $‎sigma‎$‏-کامل را با ‎$‎‎‎‎sigma$‎‏-جبرها را بوسیله قضیه لومیس ‏بررسی کردیم. سپس جبر ‏، ‎‎‎$‎‎sigma$‎‎‏-جبر و جبرهای بول از مجموعه ها را به مجموعه های فازی توسیع دادیم. برای این کار نیاز داشتیم اپراتورهای مجموعه های فازی و $‎mv‎$‏-جبرها را به عنوان تعمیمی از جبرهای بول تعریف کنیم. مفاهیمی مانند تبار و حالت، به ترتیب توسیع مفاهیم ‎$sigma$-‎جبر و اندازه احتمال در ‎$mv$-‎جبرها هستند. مفاهیمی مانند تبار و حالت، به ترتیب توسیع مفاهیم ‎$sigma$-‎جبر و اندازه احتمال در ‎$mv$-‎جبرها هستند.

باشد. انرژی گراف??,??,··· ,?n ?ال با مقاد?ر و?ژهm رأس وn ?? گراف باg فرض کن?د ?، تعر?ف میشود. در ا?ن پا?اننامه کرانهایی e(g) = |??| + |??| + ··· + |?n| بهصورتg ب?ان میکن?م. دو گراف با تعداد مساوی رأس همانرژی نام?دهn وm برای انرژی گراف بر حسب .میشود، اگر انرژی آنها ?کسان باشد. در ا?ن پا?اننامه رده ای از گرافهای همانرژی میساز?م باشد. در نها?تe(g) > ?n ? ? رأس ابر انرژی گفته میشود، هرگاه انرژی آنn ?? گراف با n ? ?r + ? وr ? ? و مکملش برایkn:rدر ا?ن پا?اننامه نشان داده میشود که کنسرگراف .ابرانرژی است

دندریمر از واژه ی یونانی دندرون به معنای درخت و پسوند یونانی مر به معنای بخش میباشد. مشخصات کلی دندریمرها شامل هسته، نسلها و گروههای سطحی انتهایی است. هر گروه از این مولکولها در بسیاری از خواص به هم شبیه هستند. گونهای از این دندریمرها بنا به آنکه گراف شان منظم است،دندریمرهای منظم نامیده میشوند. ازآنجاکه به دست آوردن خواص کاربردی مولکولهای شیمیایی در ابعاد بزرگ و صنعتی امری مشکل میباشد، لذا ما با استفاده از مدلبندی ریاضی گراف مولکولی وچندجمله ایها وشاخص های توپولوژیک به بررسی برخی ازخواص این گروه ازمولکول ها می پردازیم.

چکیده دفتر حاضر باعنوان " خواص آرتینی مدولهای کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته ویژه" بوده و مشتمل بر پنج فصل می باشد.چهارفصل اول مقدمات تحقیق را فراهم نموده و درفصل پنج به نتیجه گیری می پردازیم . فصل اول مربوط به "حدمستقیم و معکوس " است که رابطه تنگاتنگی با مبحث همولوژ دارد.درخلال آن نشان می دهیم که باتقریب ایزومورفیسم حد منحصر بفرداست .همچنین نشان می دهیم حدمستقیم باضرب تانسوری جابجاپذیر است واینکه حدمستقیم فانکتور هموردو دقیق بوده و حدمستقیم فانکتورهموردو دقیق چپ است . فصل دوم باعنوان "کمال" است دراین فصل توپولوژی و فضاهای توپولوژیکی رامعرفی می نمائیم و مفهوم کمال را ارائه می دهیم.سپس نسبت به توپولوژی فیلتری،نشان می دهیم که چگونه میتوان یک مدول را به یک مدول کامل تبدیل نمود و ازاین طریق به کامل یک حلقه دلخواه دست می یابیم . درفصل سوم که "فانکتورهای کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته وبرخی نتایج"نام دارد برای یک حلقه دلخواه،دستگاه آیده آلی معرفی می نمائیم . درخلال این فصل نشان می دهیم که -i امین فانکتور مشتق شده راست فانکتور **** بطور طبیعی هم ارزند . همچنین نشان می دهیم به ازاء هر **** فرض کنیم a ایده آلی از حلقه موضعی و نوتری a باشد توپولوژی - a ادیک را درنظر گرفته و a