با توجه به آن که بسیاری از مسائل فیزیک با معادلات دیفرانسیل ـ جبری مدل بندی می شوند‏، شایسته است که بتوان برای این مسائل جواب هایی با دقت بالا یافت. در سال های اخیر روش های عددی برای حل این معادلات به کار گرفته شده است. اما این روش ها برای مسائل با اندیس پایین مناسب هستند و برای مسائل با اندیس بالا نمی توان از آن ها استفاده کرد‏‏، پس لازم است برای ‏این مسائل جواب هایی با دقت بالا پیدا کرد. در‎‎‎‎‎‎ این پایان نامه سعی داریم معادلات دیفرانسیل ـ جبری را با روش های نیمه تحلیلی حل کنیم. به این منظور ابتدا از روش کاهش اندیس برای معادلات دیفرانسیل ـ جبری استفاده نموده‏، سپس دستگاه حاصل را با روش های نیمه تحلیلی وردشی‏، آدومیان و اختلال هموتوپی حل می کنیم. روش وردشی دنباله ای از توابع را فراهم می سازد که به پاسخ دقیق مسئله همگر‏ا است. روش آدومیان و روش اختلال هموتوپی سری نامتناهی تولید می کنند که به پاسخ دقیق مسئله همگرا است. نتایج عددی حاصل از مثال های مختلف معادلات دیفرانسیل ـ جبری اندیس بالا توانایی و مناسب بودن این روش ها را نشان می دهند.

معادلات دیفرانسیل جبری جزیی به شکل aut(t,x)+buxx(t,x)+cu(t,x) = f(t,x) زمانی مورد مطالعه قرار می گیرند که حداقل یکی از ماتریس های a,b ϵ rn×n منفرد باشد. حالت a = 0 و b = 0 به ترتیب به معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جبری منتهی می شوند. بنابراین فرض می کنیم که a,b =0 . برای این سیستم ها یک اندیس دیفرانسیل زمانی یکنواخت و یک اندیس دیفرانسیل مکانی را معرفی می کنیم. این اندیس ها به ترتیب به وسیله یک تبدیل فوریه و لاپاس مشخص می شوند. علاوه بر این یک جفت اندیس اختلال را معرفی می کنیم. تعداد شرایط اولیه و مرزی را برای خانواده های منتظم به دست می آوریم. در پایان خطای برش کامل و خطای گسسته سازی کامل را معرفی می کنیم و نرمشان را معرفی می کنیم.

در این پایان ابتدا روش های طیفی و آنالیز فوریه معرفی می شوند و و ویژگی های آنها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس به معرفی چندجمله ای های انتقال یافته ی لژاندر و ویژگی های آنها پرداخته می شود. موجک لژاندر معرفی و ماتریس عملگر مشتق این موجک تعیین می شود. هم چنین کاربرد ماتریس عملگر مشتق برای حل مسایل مقدار اولیه و مقدار مرزی توضیح داده می شود. در انتها، یک روش عددی برای حل معادلات lane-emden که به صورت مسایل مقدار اولیه تکین ارایه شده است& بکار می بریم.همچنین مثالهای گویا و روشنی برای کاربرد این روش بیان می شود.

پاسخ عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی، به خصوص معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی تصادفی به نسبت نسخه های غیرتصادفی زمینه ای جدید است. تقریبا اکثر الگوریتم هایی که جواب های نسبتا مناسبی برای معادلات دیفرانسیل معمولی به دست می دهند، جواب هایی ضعیف در برابر نسخه تصادفی آن دارند. از جمله راه حل های معرفی شده، روش اویلر-مارایوما و روش میلستین و روش رونگه کوتا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی است. دراین پایان نامه عمومی ترین روش المان محدود میلستین-گالرکین را در دسته معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی تصادفی نیمه خطی به کار می بریم. در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه را بیان نموده و مروری گذرا بر تعاریف معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و مفاهیم نظریه احتمال خواهیم کرد. در فصل دوم طرح اصلی را معرفی کرده و به بیان فرضیات اصلی مورد کاربرد خواهیم پرداخت. همچنین المان های مهم روش المان محدود گالرکین را بیان می کنیم. در فصل سوم دسته ای از طرح های یک گامی عددی را در فضای هیلبرت معرفی می کنیم و تحلیل سازگاری و پایداری را در این چارچوب کار توسعه می دهیم و با مجموعه ای از شرایط مناسب برای به اصطلاح دوپایداری به اتمام می رسانیم و تجزیه ای از خطای برشی محلی ارایه می دهیم. در فصل آخر دوپایداری و سازگاری طرح میلستین-گالرکین را بر اساس چارچوب کار طرح عددی بیان می کنیم.

مدل بندی سیستم های الکتریکی‏، قدرت‏، مکانیکی و شیمیایی‏، زمانی که این سیستم ها در معرض تاخیر قرار بگیرند‏، توسط دسته خاصی از معادلات دیفرانسیل-جبری به نام معادلات دیفرانسیل-جبری تاخیری توصیف می شوند. به عنوان مثال‏، در سیستم های الکتریکی و قدرت به واسطه ی اتصالات داخلی مدارها و یا خطوط انتقال یا در شبیه سازی فرآیندهای شیمیایی‏، هنگام مدل بندی جریان لوله ای‏، این تاخیر ظاهر می شود‎‏‎.‎‏‎‎‎ با‎‎ توجه به کاربرد های فراوان معادلات دیفرانسیل-جبری تاخیری‏، بررسی و ارائه راه حل های مناسب برای این دسته از معادلات از اهمیت ویژه ای برخوردار است‏، ولی متاسفانه تاکنون روی ساختار این معادلات و حل آن ها مطالعات کمی صورت گرفته است‏.‎‎ در این پایان نامه ابتدا به معرفی معادلات دیفرانسیل جبری و جبری تاخیری پرداخته‏، آن گاه به مطالعه پایداری مجانبی معادلات دیفرانسیل-جبری‏ و جبری تاخیری خطی و غیر خطی پرداخته و پایداری مجانبی ‏را برای روش های عددی از جمله چندگامی‏، رانگ کوتا‏، روش‎‎‎ θو... بررسی می کنیم. و در نهایت روش نیمه تحلیلی تکرار وردشی و روش تجزیه آدومیان را برای حل این نوع معادلات به کار می بریم.

در این پایان نامه شیوه جدیدی از روش تکرار وردشی برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول معرفی می شود. این شیوه بر خلاف شیوه کلاسیک تغییرات محدود را در عبارات غیرخطی بکار می برد. این روش در مقایسه با شیوه کلاسیک با تعمیم ضرایب لاگرانژ میزان محاسبات را کاهش می دهد و جواب را سریعتر به دست می آورد. برای تایید روش جدید در حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مثال هایی را ارایه می دهیم که نشان می دهد استفاده از ضرایب لاگرانژ تعمیم یافته قابل اعتمادتر است.‎‎‎‏‎ همچنین روش تکرار وردشی را برای مسایل مقدار مرزی و اولیه بکار می بریم. همچنین الگوریتم جدیدی را برای مسایل مقدار مرزی خطی و غیر خطی معرفی می کنیم که نیازمند استفاده از تابع گرین نیست.

در سال ها‏ی اخیر یافتن روش های مناسب نیمه تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل-جبری موضوع مورد توجه بسیاری از محققین بوده است. در این طرح روش های مناسب نیمه تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل-جبری کسری بررسی می شود که از جمله این روش ها‏ می توان به روش تکرار تغییرپذیر‏، روش تجزیه آدومین و روش آنالیز هموتوپی اشاره کرد. با توجه به اینکه معادلات دیفرانسیل جبر‏ی کسری دارای جواب تحلیلی دقیقی نیست و حل این معادلات با روش های کلاسیک بسیار پیچیده و در برخی موارد غیر ممکن است‏، لذا سعی داریم تا تقریبی از جواب های معادلات دیفرانسیل جبری کسری را با روش های نیمه تحلیلی به دست آوریم. در فصل اول به معرفی مفاهیم اولیه مربوط به معادلات دیفرانسیل و به شکل دقیق تر معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری آن اشاره می کنیم. در فصل دوم روش تکرار تغییرپذیر را به تفصیل معرفی کرده و کاربرد آن را در معادلات دیفرانسیل کسری ـ جبری بیان می کنیم. سپس با ارائه چند مثال عددی فصل دوم را به پایان می بریم. در فصل سوم روش تجزیه آدومیان‏ را معرفی و کاربرد این روش در معادلات دیفرانسیل کسری ـ جبری را با چند مثال نشان می دهیم. در فصل چهارم نیز ابتدا مفاهیم اولیه روش آنالیز هموتوپی را بیان می کنیم‎;‎‏ سپس روش آنالیز هموتوپی را در معادلات دیفرانسیل کسری ـ جبری معرفی می کنیم و در انتها با چند مثال عددی فصل را به پایان می بریم.

در این پایان نامه به بررسی نامساوی ماتریسی خطی در تئوری کنترل پرداخته شدهاست.روش lmi را برای سیستم های مقاوم و سیستم دو خطی وسیستم گسسته زمان خطی مورد بررسی قرار داده ایم.

معادلات دیفرانسیل جبری (dae)کاربردهای فراوانی در علوم مختلف دارند که برای حل کردن آن ها از روش های مختلف استفاده می شود تا بتوان سریع تر به جواب رسید یکی از روش های ارایه شده روش گام کسری برای معادلات دیفرانسیل جبری است که در این پایان نامه به بررسی این روش می پردازیم. در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه را بیان نموده و مروری گذرا برکاربردهای معادلات دیفرانسیل جبری خواهیم داشت. در فصل دوم ابتدا به ارایه روش حل معادلات دیفرانسیل جبری با اندیس 1 پرداخته و خطای آن ها را بررسی کرده سپس این روش را برای معادلات دیفرانسیل جبری با اندیس 2 نیز تعمیم می دهیم. در فصل سوم این روش را برای معادلات ناویه استوکس تراکم ناپذیر و تراکم پذیر بررسی می کنیم و الگوریتم این روش را برای این نوع معادلات ارایه می دهیم در فصل آخر ابتدا روش نیمه لاگرانژی را برای معادلات آب کم عمق بررسی می کنیم سپس نتیجه می گیریم که روش گام کسری ارایه شده در این پایان نامه، در زمان کوتاهتری ما را به جواب معادلات آب کم عمق می رساند.

در بسیاری از شاخه های علوم کاربردی (مهندسی) به مسائلی به فرم tu u برخورد می کنیم که در آن و u به ترتیب مقدار ویژه خواهند بود. بدست آوردن مقدار مناسب و u در مسئله فوق حائز اهمیت می باشد. از آنجایی که مقدار همواره بطور دقیق محاسبه نمی شوند، بنابراین بدست آوردن یک لقریب مناسب برای و u بررسی خطاهای آنها قابل اهمیت خواهند بود. در این رساله یک روش برای تقریب مقادیر ویژه بردارهای ویژه مسائل خودالحاقی (t* t, ) موسوم به روش گالرکین، ارائه و خطاهای آن مورد بررسی قرار می گیرد. هدف بدست آوردن برآورد مناسبی برای خطاهای موجود در تقریب مقدار ویژه اینگونه مسائل با روش مذکور می باشد. بخصوص حالت مقادیر ویژه مکرر مورد بحث خواهد بود.