برای بررسی برخی از خواص مولکول ها، نیازمند استفاده از زبان ریاضی هستیم، بعنوان نمونه وقتی ساختار مولکول ها را بوسیله فضای متریک توپولوژی بیان می کنیم از توابع فاصله کمک می گیریم. بر اساس این توابع فاصله، شاخص های متعددی بوجود می آیند یکی از شاخص های معروف، شاخص وینر است که بر اساس فاصله مسیری است. به علت نقصی که در این تابع فاصله وجود دارد، تابع فاصله دیگری که فاصله مقاومتی نام دارد بوجود آمد و بر اساس این تابع فاصله جدید، شاخص کریشهف معرفی شد. در این تحقیق به مقایسه میان شاخص وینر و شاخص کریشهف پرداختیم و همچنین فاصله ی مقاومتی را از تعریف فیزیکی محاسبه کردیم و فرمول های متفاوتی از آن را ارائه دادیم. در ادامه نیز مقادیر ویژه لاپلاسین و شاخص کریشهف برای گراف های ترکیبی و دوری را محاسبه کردیم و مثال های مهم و کاربردی از این گراف ها را مورد بررسی قرار دادیم همچنین به بررسی گراف کیلی که یک گراف جبری است پرداختیم.

دنباله ای از گراف های خود متشابه ساده که متقارن نیستند را در نظر می-گیریم . نشان می دهیم برای این دنباله خاص از گراف ها بسیاری از خاصیت های تخمین طیفی وجود دارد، سپس با استفاده از روابط بازگشتی یک توصیف کامل از طیف لاپلاسین این دنباله از گرافها به دست می آوریم.

در این پایان نامه به بیان مفهوم تاربندی ها می پردازیم و نشان می دهیم تاربندی ها تعمیمی از نگاشت های پوششی هستند. سپس تعدادی از خواص جبری فضا های پوششی و گروه خودریختی فضا های پوششی را به دست می آوریم. در ادامه با معرفی فضا ها ی پوششی عمومی، منظم و گالوا به طبقه بندی فضا ها ی پوششی پرداخته و ثابت می کنیم هر فضای پوششی عمومی یک فضای پوششی منظم و هر فضای پوششی منظم یک فضای پوششی گالوا است. در انتها پس از معرفی فضا های اسپانیر نشان می دهیم همه ی پوشش ها ی عمومی، فضا ها ی اسپانیر هستند

کلاف های برداری تعمیمی از ضرب خارجی یک فضای توپولوژیکی با یک فضای برداری است. در این طرح می خواهیم نشان دهیم که کلاس های مشخصه به هر کلاف برداری یک کلاس از فضای پایه نسبت می دهد. در ابتدا با یک نظر اجمالی ممکن است به نظر آید فانکتور کلافی مماس ممکن است ساده نباشد،زیرا کلاف برداری یک منیفلد به همراه یک ساختار اضافی است )زیرا یک کلاف مماسی به طور متعارف به یک منیفلد نسبت داده شده می شود..(تغییرات کلاس هایمشخصه منجر به تغییرات برای کلاف های مماس میشود.برای مثال قضیه چرن _ویل از کلاس های مشخصه ای است که در هندسه دیفرانسیل برای به وجود آوردن تغییرات بر کلاف های برداری استفاده میشود.کاربرد کلاف های مماس،کلاس های مشخصه منجر به دیفیومورفیسم های پایای عددی برای منیفلد می شود که اعداد مشخصه نامیده می شود.اعداد مشخصه برای مثال به ویژگی کلاسیک اولر تعمیم داده می شود. یک مقطع از کلاف برداری ?:e?mیک نگاشت از m به e است که هر نقطه ای از mرا به داخل تاری از کلاف روی همان نقطه می نگارد. همان طورکه می دانیم میدان های برداری و فرم های دیفرانسیل روی منیفلد هر دو مقطع هایی از کلاف های برداری روی منیفلد می باشد. در سال 1895 در یک سری از مقالات پیشگام، که با analysis situt شروع می شود پوانکاره مفهوم همولوژی را معرفی کرد و توپولوژی جبری مدرن را بنا گذاشت. به طور کلی، یک منیفلد فشرده بدون مرز یک چرخ است و یک چرخ با صفر متشابه است اگر مرز منیفلد دیگری نباشد. کلاس های هم ارزی از چرخ ها تحت رابطه ی همولوژی کلاس های همولوژی نامیده می شود. در سال 1931 جرج دراهام در پایان نامه ی دکترایش در نتیجه ی آنچه اکنون دراهام کوهمولوژی و همولوژی منفرد با ضرایب حقیقی ثابت می نامیم نشان داد که فرم های دیفرانسیل در همان اصول مانند چرخ ها و مرز ها صدق می کنند. اگر چه او در این مقاله به صراحت دراهام کوهمولوژی را تعریف نکرد، به آن در کارش اشاره شده بود. در سال 1938 یک تعریف رسمی از دراهام کوهمولوژی ظاهر شد.

همسازی سیستم های آشوبناک از مرتبه معمولی و کسری علاقه ی بسیاری از محققین را در زمینه ی ارتباط محرمانه در سیستم های آنالوگ و دیجیتال به خود جلب نموده است. بدین منظور ما در این پایان نامه به ارائه یک روش کنترل فعال برای همسازی دو سیستم آشوبناک از مرتبه ی معمولی و کسری با پارامترهای معین و نامعین می پردازیم و تاثیر روش کنترل در همسازی دو سیستم یکسان و متفاوت را مورد بررسی قرار می دهیم. در واقع هدف ما بدست آوردن توابع کنترل مناسب برای به پایداری رساندن سیستم خطای حاصل از تفاضل دو سیستم آشوبناک اصلی و وابسته می باشد. در انتها به بررسی سیستم های آشوبناک از مرتبه کسری پرداخته و رابطه ی بین مرتبه کسری و همسازی در سیستم های دینامیکی آشوبناک متفاوت را مورد تحلیل و بررسی قرار می دهیم. در این راستا مشاهده خواهیم کرد که با میل کردن مرتبه کسری به سمت یک سیستم خطا سریعتر به پایداری رسیده و همسازی با سرعت بیشتری رخ می دهد

چکیده ندارد.

قضیه گلیسون - کاهان - زلازکو(gkz )بیان می کند که هر گاه m یک زیرفضای با هم بعد 1 از یک جبر باناخ مختلط یکدار جابجایی ..... بوده و هر عضو m دارای صفری در فضای ایده آل ماکسیمال .... باشد(به عبارت دیگر هر عنصر m در یک ایدآل ماکسیمال قرار می گیرد)آنگاه m دارای صفر مشترکی در فضای ایده آل ماکسیمال ..... خواهد بود (mخود یک ایده آل ماکسیمال خواهد بود). این قضیه به زیر فضاهای با هم بعد بالاتر نیز تعمیم یافته است . در این رابطه تعریف زیر را داریم :گوییم جبر باناخ جابجایی .... دارای خاصیت p(k,n) است هر گاه گزاره زیر درست باشد : اگر m یک زیرفضای ..... باهم بعد n باشد بطوریکه هر عضو m دارای حداقل k صفر متمایز در فضای ایده آل ماکسیمال .... است ، آنگاه m حداقل در k ایده آل ماکسیمال قرار گیرد. با این تعریف قضیه gkz بیان می کند که جبرهای باناخ مختلط یکدار جابجایی دارای خاصیت p(1,1) می باشند. در فصل چهارم رساله حاضر ما خاصیت p(k,n) ،.................. رابرای جبرهای توابع گویا بر روی مجموعه های فشرده و درون تهی صفحه اثبات می نماییم . این مطالعه در ادامه بررسی این خاصیت برای جبرهای باناخ جابجایی می باشد که در فصل های دوم و سوم شرح جامعی از آن داده شده است . قضیه gkz برای جبرهای باناخ حقیقی برقرار نمی باشد . برای مثال تابعک خطی با ضابطه ......................... را بر روی [0,1]rec در نظر بگیرید . در عین حالی که هر عنصر ker... دارای صفری در [0,1] است (بنا به قضیه مقدار میانی )اما بوضوح ker... ایده آل ماکسیمالی نیست . اما اگر x یک فضای توپولوژیک ناهمبند کلی باشد آنگاه قضیه gkz برای rec(x) برقرارمی باشد. ما ثابت می کنیم که در این حالت برای هر n ... n ،rec(x) دارای خاصیت p(1,n) می باشد و به علاوه هر گاه تمام نقاط x ،g.. باشند،آنگاه p(k,n) برای همه مقادیرn .. k,n برای rec(x) برقرار می باشد.

در این رساله نگاشتهایی را توصیف می کنیم که حافظ وارون پذیری هستند. در بین نگاشتهای خطی حافظ وارون پذیری ، نگاشتهایی وجود دارند که حافظ طیف می باشند. توضیحات مفصل در پایان نامه ارائه شده است.