در این نوشتار به بررسی نظریه دیفرانسیل پذیری در فضاهای خطی فشرده تولید شده با ابزار و مفاهیم رسته ای مطرح شده خواهیم پرداخت . معرفی رسته هایی خاص و رسته ؟k زیربنای کارماست ، یک -?k فضا، فضایی توپولوژیکی است که حامل توپولوژی نهای از خانواده fiهاست و fiها نگاشت های پیوسته از ki به x می باشند که kiها فشرده و هاسدروف هستند. بعلاوه ?k زیر رسته هم بازتاب صلب top است . در فصل اول و دوم رسته ?c و c??c و برخی خواص مفید آنها را مطرح می کنیم و خواص بیشتری از ?k و فضای نگاشتها را بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم e را یک -?k فضای برداری روی میدان r در نظر می گیریم که جمع برداری و ضرب اسکالر دو نگاشت ?k هستند؟ چنین فضاهایی بهمراه نگاشتهای خطی و پیوسته بین آنها رسته ??k را تشکیل می دهند، اساس کار مار بر رسته c??k می باشد، که آن را زیر رسته فضاهای نشانده شده بسته از ??k می نامیم، یعنی فضاهایی مانند e که @e: e? ? با ضابطه @e (x) (f)f(x) یک نشاندن بسته است . با طرح قضیه اساسی در رسته c??k که معرفی یکریختی طبیعی ed با معکوس av است ، در واقع اساس کار پایه ریزی می شود. در فصل چهارم تعریف انتگرال منحنی p: a?u?e (e یک -c??k فضا و a یک حوزه اصلی است .) نقشی محوری در نظریه دیفرانسیل پذیری جدید ایفا می کند. منحنی p یک مسیر است اگر منحنی ؟ وجود داشته باشد که در اتحاد ?ab ? (t)dtp(b) - p (a) صدق کند. نگاشت f: u?f یک -?1k نگاشت است ، اگر برای هر مسیر p، -?k نگاشت df:u?[e, f] وجود داشته باشد که در تساوی ?abdf (p(t)). ? (t)dtf (p(b)) - f (p (a)) صدق کند. در خاتمه مجموعه همه توابع -r بار دیفرانسیل پذیر را به ساختاری مجهز می کنیم که آن مجموعه در رسته ما قرار گیرد و یا به عبارتی یک -c??k فضا شود.