در این رساله حلقه ها جابجایی و یکدار فرض شده اند و مدولها نیز یکایی هستند. گیریم r یک حلقه و m یک -r مدول باشد، زیر مدول محض n از -r مدول m را، اول یا(-p اول)گوئیم هرگاه برای هر r از r و برای هر m ازm که داشته باشیم: یا :mp گیریم r یک حلقه باشد، بعد کرول کلاسیک حلقه (cl.k.dimr)r را بصورت زیر تعریف میکنیم. گوئیم cl.k.dimrn m ، اگر زنجیره ای صعودی بطول n+1 ، از ایده آلهای اول حلقه r بصورت وجود داشته باشد که آن تمام ایده آلهای اول مجزا می باشند و علاوه بر این هیچ زنجیره دیگری با طول بیشتر از n+1 با همین خواص وجود نداشته باشد، در این حالت بعد کرول کلاسیک حلقه r ، متناهی است . اگر هیچ زنجیره ای از ایده آلهای اول حلقه r بصورت بالا وجود نداشته باشد، بعد کرول کلاسیک حلقه r ، نامتناهی است . گیریم m یک r - مدول باشد، در اینصورت بعد کرول کلاسیک آن بصورت بعد کرول کلاسیک حلقه r/o:mr/annrm تعریف می شود. مسئله اصلی مورد بحث در این رساله، بعد کرول کلاسیک ، -r مدول m است که برای مشخص نمودن آن به مطالبی پیرامون مفهوم زیر مدولهای اول ممتاز (distinguished) و قضایایی در مورد آن در فصل دوم پرداخته و سپس در فصل سوم به مشخص نمودن زیر مدولهای اول ممتاز، مدولهای بحصوصی می پردازیم. در فصل چهارم بعد -r مدول m را تعریف می کنیم و آن را با (dim m) نمایش می دهیم، این تعریف براساس طول زنجیره هایی از زیرمدولهای اول ممتاز، -r مدول m است سپس ارتباط بین بعد کرول کلاسیک m و بعد m را مطرح می کنیم وثابت می کنیم که اگر یک -r مدول متناهیا تولید شده باشد، آنگاه dimm<cl.k.dimm . و همچنین ثابت میکنیم که اگر m یک -r مدول متناهیا تولید شده و متعلق به یکی از حالات زیر باشد، آنگاه: .dimmcl.k.dimm -1 m یک -r مدول ضربی ضعیف باشد. -2 m یک -r مدول کانتنت باشد، بطوریکه برای هر که در آن c تابع کانتنت است و -3 m یک -r مدول یکدست باشد. -4 m یک -r مدول سریال باشد.