در نوشتن این رساله فرض شده است که خواننده با مفاهیم رسته و تابعگون آشناست . بقیه مفاهیم مورد نیاز و همچنین رسته ها و تابعگون های خاصی که مورد استفاده قرار گرفته اند در سه فصل اول معرفی شده اند. در فصل صفر مفاهیم و قضایای مورد نیاز از 15 فصل اول از [8] با ذکر برهانها آورده شده است . فصل 1 به معرفی مفاهیم پالایه، رسته cc و خواص آن، رسته lcc، رسته clcc و قضایایی پیرامون آنها می پردازد. معمولا برهان قضایای مذکور بیان شده است به جز در دو مورد که آوردن برهان برای آنها از حوصله این بحث خارج بوده است . در فصل 2، نظریه مشتقگیری روی دامنه های مماسی بر مبنای تعریف جدیدی از مشتق، بر حسب انتگرال منحنیها (-cc نگاشتهای اسگالر به بردار)، گسترش یافته است . باید توجه داشت که دامنه های مماسی ممکن است غیرمحدب و دارای درون تهی باشند. مطالب این فصل برگرفته از [7] است و قضایایی از این مقاله که در فصول بعدی کاربرد داشته اند با ذکر برهانها بیان شده اند. فصول 3 و 4 به مقاله اصلی اختصاص دارد. در فصل 3، ابتدا رسته های کمکی jcc, jlcc و مفاهیم -jcc زیر فضا و شبه گوی، با مثالهایی در این زمینه، معرفی می شوند و سپس قضیه نقطه ثابت پارامتری شده به عنوان ابزاری کلی برای برهانهای وجودی در جایگاه نرم ناپذیر بیان می شود و بالاخره در آخر این فصل با استفاده از قضیه نقطه ثابت . قضیه وجود-یکتایی برای معادلات دیفرانسیل اثبات می شود. در فصل 4، با استفاده از ابزارهای آماده شده در فصل 3، قضایای تابع معکوس و تابع ضمنی در جایگاه نرم ناپذیر تعمیم می یابند، بطوریکه در فضاهای باناخ، به عنوان حالت خاص ، به شکل کلاسیک باقی می مانند.