این پایان نامه بر دو قسمت است . در قسمت اول شرایط معادل برای دور از مرکز بودن شارش و مثالهای متنوع مورد بررسی قرار می گیرد و در قسمت دوم وجود و منحصر به فردی اندازه هار روی گروههای توپولوژیک راست فشرده مورد بررسی قرار می گیرد. فرض کنیم g یک گروه فشرده باشد که در آن نگاشت t-->st پیوسته است ، در این صورت ما g را گروه توپولوژیک چپ فشرده می نامیم و شارش انتقال چپ (g و (g را در نظر می گیریم دبیلو. راپرت حالتی را که g یعنی (g و (g همپیوسته است مورد مطالعه قرار داده است یکی از نتایج درباره گروههای همپیوسته، این است که مرکز توپولوژیک { g p:g--->; ---> پیوسته} در g بسته است . این ایجاب می کند که هیچ کدام از گروههای توپولوژیک چپ فشرده غیربدیهی که از شمارش دور از مرکز به دست می آیند همپیوسته نباشند. در فصل دوم ما آن رده از گروههای توپولوژیک چپ فشرده را مطالعه خواهیم کرد که از نوع همپیوسته، کسترده ترند، رده ای که شامل آن گروههای توپولوژیک چپ فشرده است که از شارش های دور از مرکز به دست می آیند، این رده را ما گروههای توپولوژیک چپ فشرده دور از مرکز گوئیم که منظور همان دور از مرکز بودن شارش (g و g) است . در تحلیل ما از این رده، در حال حاضر شرایطی را که معادل دور از مرکز بودن g است (در مقایسه با شرایط معادل دبیلو. راپرت برای همپیوستگی (g مورد بررسی قرار خواهیم داد. همچنین به یک جنبه قابل توجه نتایج نظریه گروههای توپولوژیک چپ شرده دور از مرکز خواهیم پرداخت و آن فرایندی است که به طور موثر یک گام بعدی را برای همپیوستگی g تعیین می کند و می تواند تکرارهای پی در پی این فرایند برای g دور از مرکز (غیرهمپیوسته) با معنی باشد. ما بعضی از مثال ها از g دور از مرکز را بحث خواهیم کرد و در یکی از این مثالها چگونگی فرآیند فوق را دقیقا ذکر می کنیم که نه تنها می تواند گام بعدی را تعیین کند بلکه می تواند به طور نامتناهی تکرار شود. در فصل دوم چند گروه غیر دور از مرکز را نیز ارائه می دهیم. در فصل 3 وجود و منحصر به فردی اندازه هار روی گروههای توپولوژیک راست فشرده بررسی می شود. گروههای توپولوژیک فشرده از توپولوژی دینامیک و دیگر دستگاهها ناشی می شوند. در کار اساسی که توسط آر.الیس ، آی نامیوکا و فرستن برگ روی شارش های دور از مرکز نشان داده شده است ، که گروههای راست توپولوژیک فشرده از نوع دینامیکی همواره در یک اندازه احتمال که تحت ، انتقال چپ پیوسته و پایاست صدق می کنند به هر حال این خاصیت پایایی برای تعیین اندازه احتمال منحصر به فرد کافی نیست (بر خلاف گروههای توپولوژیک فشرده). در این پایان نامه برهان های الیس و نامیوکا را توسیع می دهیم تا نشان دهیم که اندازه پایای راست روی گروههای توپولوژیک راست g در صورتی وجود دارد که دارای یک سیستم قوی از زیر گروههای نرمال باشد. که این اندازه به طور منحصر به فرد تعیین می شود و همچنین تحت انتقال چپ پایاست . با استفاده از کار نامیوکا نشان خواهیم داد که g دارای یک سیستم از زیر گروههای نرمال است ، اگر مرکز توپولوژیک آن چگال و شمارا باشد و یا زیر گروه چنین گروهی باشد.